Domination in graphs with bounded propagation: algorithms, formulations and hardness results
在\textsc{Dominating Set}问题和\textsc{Power Dominating Set}（PDS）问题之间引入了一个问题层次，称为$\ell$ -轮幂支配集（$\ell$ -轮PDS，简称PDS）问题.对于$\ell=1$，这是\textsc{Dominating Set}问题，对于$\ell\geq n-1$，这是PDS问题;这里$n$表示输入图中的节点数。在PDS中，目标是找到功率支配所有节点的最小大小的节点集合$S$，其中节点$v$是功率支配的，如果（1）$v$在$S$中或者它在$S$中具有邻居，或者（2）$v$具有邻居$u$，使得$u$及其除了$v$之外的所有邻居都是功率支配的。注意，规则（1）与用于\textsc{Dominating Set}问题的规则相同，并且规则（2）是迭代地应用的一类传播规则。$\ell$轮PDS问题具有与PDS相同的规则集，除了我们在至多$\ell-1$轮中“并行”地应用规则（2）。证明了在一般图中，即使对$\ell=4$，$\ell$ -圆PDS也不能比$2^{\log^{1-ε}{n}}$更好地逼近.我们提供了一个动态规划算法，以解决$\ell$轮PDS最佳在多项式时间内有界树宽的图。我们提出了一个PTAS（多项式时间近似方案）$\ell$ -圆PDS平面图$\ell=O(\tfrac{\log{n}}{\log{\l…
2008-02-15 cs.CC cs.DS
(Gap/S)ETH Hardness of SVP
$ \newcommand{\problem}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}} } \newcommand{\SVP}{\problem{SVP}} \newcommand{\ensuremath}[1]{#1} $我们证明了下面的$\ell_p$范数（$\SVP_p$）中最短向量问题的定量硬度结果，其中$n$是输入格的秩。$\bullet$对于“几乎所有”的$p > p_0 \approx 2.1397$，对于某些显式常数$C_p > 0$，没有$\SVP_p$的$2^{n/C_p}$ -时间算法，除非（随机化的）强指数时间假设（SETH）为假。$\bullet$对于任何$p > 2$，没有$\SVP_p$的$2^{o(n)}$ -时间算法，除非（随机）间隙指数时间假设（Gap-ETH）为假。此外，对于每个$p > 2$，存在常数$γ_p > 1$，使得即使对于$γ_p$ -近似$\SVP_p$也保持相同的结果。对于任何$\bullet$都没有$\SVP_p$的$2^{o(n)}$ -时间算法，除非（1）（非均匀）Gap-ETH为假;或者（2）在$\ell_2$范数中不存在具有指数接吻数的格族。此外，对于每个$1 \leq p \leq 2$，存在常数$γ_p > 1$，使得即使对于$γ_p$ -近似$\SVP_p$也保持相同的结果。
2017-12-04 cs.CC
Improved hardness results for unique shortest vector problem
我们给出了几个已知的困难的唯一最短向量问题的改进。- 给出了从最短向量问题到唯一最短向量问题的确定性约简。作为副产品，我们得到了唯一最短向量问题在$\ell_\infty$范数下的确定性NP-困难。- 我们给出了从SAT到uSVP_{1+1/poly(n)}的随机约简。这表明，在随机约简下，uSVP_{1+1/poly(n)}是NP难的。- 我们证明了如果GapSVP_γ \in coNP（或coAM）则分别为uSVP_{\sqrtγ} \in coNP（coAM）.这将先前已知的由Cai \cite{Cai98}进行的uSVP_{n^{1/4}} \in coAM证明简化为uSVP_{（n/ \log n）^{1/4}} \in coAM，并且另外将其推广为uSVP_{n^{1/4}} \in coNP。- 我们给出了从搜索-uSVP_γ到决策- uSVP_{γ/2}的确定性约简。我们还表明，决策uSVP是{ \bf NP}-硬随机减少，这并不遵循Kumar-Sivakumar \cite{KS01}。
2011-12-07 cs.CC
Deterministic Hardness of Approximation of Unique-SVP and GapSVP in $\ell_p$ norms for $p>2$
本文通过确定性归约证明所有 p>2 下 SVP_p 与 uSVP_p 的常数及近多项式不可近似性，并将其转化为 BDD_p 的格密码最坏情况安全保证。
2025-10-19 cs.CC cs.CR
Decision-Theoretic Troubleshooting: Hardness of Approximation
决策理论故障排除是贝叶斯网络可以应用的领域之一。给定一个故障的人造设备的概率模型，任务是构建一个具有最小期望成本的修复策略。这个问题在过去20年中受到了相当大的关注。对于简单的情况，已经发现了有效的解决方案算法，而其他变体已被证明是NP完全的。我们研究了文献中发现的问题的几个变种，并证明计算近似的故障排除策略是NP难的。在证明中，我们利用了一个密切的联系，集合覆盖问题。
2013-08-01 cs.AI cs.CC
Polynomial-Factor Deterministic NP-Hardness for SVP in Every lp Norm with p > 2
UCSB（加州大学圣塔芭芭拉分校）；UCLA（加州大学洛杉矶分校）
该研究针对p>2的所有lp范数，给出从3SAT到M^ε-GapSVP_p的确定性多项式时间归约，证明对应SVP问题的多项式因子确定性NP-难解性。
2026-08-20 cs.CC
Hardness of Agnostically Learning Halfspaces from Worst-Case Lattice Problems
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
我们在不可知模型中显示了不正确学习半空间的硬度，无论是在分布独立的还是分布特定的设置中，基于最坏情况的晶格问题，如GapSVP或SIVP，是很难的假设。特别是，我们表明，在这种假设下，没有有效的算法，输出任何二进制假设，不一定是半空间，实现误分类错误优于$\frac 1 2 - γ$，即使最佳误分类错误是一样小，$δ$一样小。这里，$γ$可以小于维数上的任何多项式的逆，$δ$可以小到$exp(-Ω(\log^{1-c}(d)))$，其中$0 < c < 1$是任意常数，$d$是维数。对于分布特定的设置，我们表明，如果边际分布是标准高斯，对于任何$β> 0$学习半空间错误$OPT_{LTF} + ε$需要时间至少$d^{\tildeΩ(1/ε^{2-β})}$在相同的硬度假设。同样，我们表明，学习度$\ell$多项式阈值函数的错误$OPT_{{PTF}_\ell} + ε$需要至少$d^{\tildeΩ(\ell^{2-β}/ε^{2-β})}$的时间。$OPT_{LTF}$和$OPT_{{PTF}_\ell}$分别表示任何半空间或多项式阈值函数可实现的最佳误差。我们的下限定性匹配算法的保证和（几乎）恢复已知的下限的基础上，非最坏情况的假设。以前，这样的硬度结果[Daniely16，DKPZ21]是基于平均情况复杂性假设或仅限于统计查询模型。我们的工作给出了第一个基于最坏情况复杂性假…
2023-02-20 cs.CC cs.LG math.ST
Parameterized Hardness of Zonotope Containment and Neural Network Verification
Technische Universität Berlin（柏林技术大学）；Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences（马克斯·普朗克数学研究所）；University of Technology Nuremberg（纽伦堡技术大学）
研究探讨了2层ReLU网络函数的正性判定问题，证明其在参数d下属于W[1]-难问题，并展示了Zonotope包含、Lp-Lipschitz常数近似等任务的计算复杂性，揭示了这些基础问题的最优解法。
2026-09-04 cs.CC cs.DM cs.LG
Covering Pairs in Directed Acyclic Graphs
有向无环图（DAG）上的最小路径覆盖问题是一个经典的问题，它为不同领域的应用提供了一个清晰而简单的数学公式，并有一个有效的算法解决方案。在本文中，我们研究的计算复杂性的最小路径覆盖的两个受约束的变种，最近推出的下一代测序技术在生物信息学的动机。第一个问题（MinPCRP），给定一个DAG和一组顶点对，要求“覆盖”所有顶点的路径的最小基数集，使得每对顶点的两个顶点属于同一条路径。对于这个问题，我们证明了，如果存在一个至多由三条路径组成的解，则它是NP难计算的，可以在多项式时间内判定是否存在由至多两条路径组成的解。第二个问题（MaxRPSP），给定一个DAG和一组顶点对，要求包含最大数量的给定顶点对的路径。我们证明了它的NP-硬度和W[1]-硬度，当参数化覆盖对的数量时。在积极的一面，我们给出了一个固定参数的算法时，参数是最大重叠度，一个自然的参数在生物信息学应用的问题。
2013-10-18 cs.CC cs.DS
NP-Hardness and a PTAS for the Pinwheel Problem
Cornell University（康奈尔大学）
研究针轮问题的NP难性及其近似算法，证明其NP难并提出PTAS，改进了近似因子。
2026-04-15 cs.CC cs.DS
Tensor-based Hardness of the Shortest Vector Problem to within Almost Polynomial Factors
$ \newcommand{\SVP}{\mathsf{SVP}} \newcommand{\NP}{\mathsf{NP}} \newcommand{\RTIME}{\mathsf{RTIME}} \newcommand{\RSUBEXP}{\mathsf{RSUBEXP}} \newcommand{\eps}ε \newcommand{\poly}{\mathop{\mathrm{poly}}} $我们表明，除非$\NP \subseteq \RTIME (2^{\poly(\log{n})})$，有没有多项式时间的算法近似最短向量问题（$\SVP$）的$n$维格在$\ell_p$规范（$1 \leq p< \infty$）内的一个因素$2^{(\log{n})^{1-\eps}}$的任何$\eps > 0$。由于Khot（J. ACM，2005），在相同的复杂性假设下，这改进了以前的最佳因子$2^{(\log{n})^{1/2-\eps}}$。在更强的假设$\NP \nsubseteq \RSUBEXP$下，我们得到了某些$c> 0$的硬度因子为$n^{c/\log\log{n}}$。我们的证明从Khot的$\SVP$实例开始，这些实例很难在某个常数内近似。为了提高硬度因子，我们只需应用晶格的标准张量积。主要的新颖性是在分析中，我们表明，Khot的格表现良好的张量下。分析的核…
2018-06-11 cs.CC
On The Hardness of Approximate and Exact (Bichromatic) Maximum Inner Product
本文研究了（双色）最大内积问题（Max-IP），其中给定向量集$A$和$B$，目标是求最大化内积$a \cdot b$的$a \in A$和$b \in B$. Max-IP是非常基本的，并且在[Abboud et al.，FOCS 2017]关于多项式时间问题近似的难度。它也被（隐含地）用于[Williams，SODA 2018]中的poly-log-log维度中精确$\ell_2$ -Furdle对（以及计算几何中的其他重要问题）的硬度论证。关于这个问题，我们有三个主要结果。首先，我们研究了次二次时间上布尔Max-IP的最佳乘法逼近比。我们发现，对于最大IP与两组$\{0,1\}^{d}$的$n$向量，有一个$n^{2 - Ω(1)}$时间$\left( d/\log n \right)^{Ω(1)}$ -乘法近似算法，我们表明这是有条件的最优，因为这样的$\left(d/\log n\right)^{o(1)}$ -近似算法会反驳SETH。其次，我们实现了类似的最佳加性逼近误差布尔Max-IP的特征。我们证明，对于具有来自$\{0,1\}^{d}$的两组$n$向量的Max-IP，存在一个$n^{2 - Ω(1)}$时间$Ω(d)$ -加法近似算法，并且这是有条件的最优算法，因为这样的$o(d)$ -近似算法将反驳SETH [Rubinstein，STOC 2018]。最后，我…
2018-03-06 cs.CC cs.DS
Hardness of the (Approximate) Shortest Vector Problem: A Simple Proof via Reed-Solomon Codes
$\newcommand{\NP}{\mathsf{NP}}\newcommand{\GapSVP}{\textrm{GapSVP}}$我们给出了一个简单的证明，证明了（近似的，决策的）最短向量问题在随机约简下是$\NP$ -困难的。具体来说，我们表明，对于任何$p \geq 1$和任何常数$γ< 2^{1/p}$，$γ$ -近似问题的$\ell_p$规范（$γ$ - $\GapSVP_p$）是不是在$\mathsf{RP}$，除非$\NP \subseteq \mathsf{RP}$。我们的证明遵循Ajtai（STOC 1998）开创的方法，并由Micciancio（FOCS 1998和SICOMP 2000）加强，用于使用局部稠密晶格显示$γ$ - $\GapSVP_p$的硬度。我们构造这样的格简单地应用“建设A”的Reed-Solomon码与适当的参数，并证明其局部密度通过一个基本的参数最初使用的背景下，克雷格格。与所有已知的具有$p < \infty$的$\GapSVP_p$的$\NP$硬度结果一样，我们的简化使用随机性。事实上，通过确定性约化来证明$\NP$ -硬度是一个臭名昭著的公开问题。为此，我们还讨论了潜在的方向和相关的挑战去随机化我们的减少。特别是，我们表明，我们的局部密度建设的密切确定性模拟将提高国家的最先进的明确里德-所罗门列表解码下界Guruswami和鲁德…
2022-02-15 cs.CC
The Complexity of $(P_k, P_\ell)$-Arrowing
本研究针对$(P_k, P_ℓ)$-Arrowing问题的计算复杂度展开研究，通过构造发射器特殊图与归约构件，证明除平凡情况及$(3,4)$外该问题均为coNP完全，并给出$(P_3,P_4)$情形的多项式时间算法，完成该类问题的全复杂度分类。
2023-07-20 cs.CC
Tight Hardness of the Non-commutative Grothendieck Problem
$\newcommand{\eps}{\varepsilon} $我们证明了对于任何$\eps > 0$它是$\textsf{NP}$ -很难近似的非交换Grothendieck问题的一个因素$1/2 + \eps$，这匹配的近似比的算法Naor，Regev，和Vidick（STOC'13）。我们的证明使用了嵌入$\ell_2$到空间的矩阵赋予的迹范数的属性，标准的基向量的图像比没有大坐标的单位向量的图像更长。我们还观察到，对于交换的小格罗滕迪克问题，可以获得紧的$\textsf{NP}$ -硬度结果;以前，这仅基于唯一博弈猜想（Khot和Naor，Mathematika 2009）。
2022-02-21 cs.CC math.FA
Mind the Gap? Not for SVP Hardness under ETH!
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Centre for Quantum Technologies, Singapore（新加坡量子技术中心）；Monash University（蒙纳士大学）
基于 ETH，作者证明了若干格问题的硬度结果，通过将 MAXLIN 问题转化为 CVP 和 SVP 问题，展示了在不同 p-范数下的计算难度。
2026-04-21 cs.CC cs.CR cs.DS
On the Quantitative Hardness of CVP
$ \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\problem}[1]{\ensuremath{\mathrm{#1}} } \newcommand{\CVP}{\problem{CVP}} \newcommand{\SVP}{\problem{SVP}} \newcommand{\CVPP}{\problem{CVPP}} \newcommand{\ensuremath}[1]{#1} $对于奇数$p \geq 1$（和$p = \infty$），我们证明了秩$n$格上的$\ell_p$范数（$\CVP_p$）中的最近向量问题对于任何常数$\eps > 0$都不能在$2^{(1-\eps) n}$时间内求解，除非强指数时间假设（SETH）失效.然后，我们将这个结果扩展到$p \geq 1$的“几乎所有”值，不包括偶数。这非常接近于解决$\CVP_2$的重要特例的定量时间复杂度（即，欧几里德范数中的$\CVP$），对于该算法，$2^{n +o(n)}$时间算法是已知的。特别是，我们的结果适用于任何接近$2$的$p = p(n) \neq 2$作为$n \to \infty$。我们还展示了$\SVP_\infty$的类似的SETH硬度结果;在所谓的Gap-ETH假设下将$\CVP_p$近似到某个常数因子内的硬度;以及在不同假设下任何$1 \…
2017-10-05 cs.CC cs.DS
NP-hardness of ideal lattice problems
Clemson University（克莱姆森大学）
本文通过保维确定性多项式时间归约，证明了理想格问题（如SVP、CVP）在ℓ2范数下的最坏情况NP困难性，构造了可逆理想与单生成全实环，并给出量子多项式时间的猜想性扩展。
2026-09-15 cs.CC math.NT
Fine-grained hardness of CVP(P) -- Everything that we can prove (and nothing else)
我们显示了一些细粒度的硬度结果的最接近的矢量问题的$\ell_p$规范（$\mathrm{CVP}_p$），其近似和非均匀的变种。首先，我们表明，$\mathrm{CVP}_p$不能解决在$2^{(1-\varepsilon)n}$时间为所有$p \notin 2\mathbb{Z}$和$\varepsilon > 0$，假设强指数时间假设（SETH）。其次，我们扩展这表明，没有$2^{(1-\varepsilon)n}$时间算法近似$\mathrm{CVP}_p$内的一个恒定的因素$γ$为这样的$p$假设一个“间隙”版本的SETH，$γ$，$p$，和arity $k = k(\varepsilon)$的底层硬CSP之间的明确关系。第三，我们对预处理（假设非均匀SETH）的（精确）$\mathrm{CVP}_p$显示了相同的硬度结果。对于精确的“普通”$\mathrm{CVP}_p$，[Bennett，Golovnev，and Stephens-Davidowitz FOCS 2017]中显示了除100多种$p \notin 2\mathbb{Z}$外的所有$\mathrm{CVP}_p$的相同硬度结果，其中例外情况集取决于$\varepsilon$且不明确。对于近似和预处理问题，在这项工作之前只知道非常弱的界限。我们还表明，限制$p \notin 2\mathbb{Z}$在某种意…
2021-08-07 cs.CC cs.DS
Lossless Hardness Condensation in Deterministic Communication Complexity
University of New South Wales (UNSW)（新南威尔士大学）
本文证明确定性通信复杂度为 c 的矩阵存在接近最大难度的子矩阵，肯定回答无损凝聚问题，并给出构造性算法。
2026-09-25 cs.CC
High Dimensional Expanders: Eigenstripping, Pseudorandomness, and Unique Games
自Kaufman和Mass [KM 16]引入以来，高维扩展子（HDX）上的高阶随机游动（HD-游动）已经看到了令人难以置信的大量研究和应用，但其更广泛的组合和谱性质仍然知之甚少。我们开发了双边局部谱扩展器上的HD-游动的谱结构的组合表征[DK 17]，这提供了广泛的推广，研究了Johnson和Grassmann图。我们的表征，这表明，频谱的HD-散步紧紧集中在几个组合结构的条带，导致新的结构定理，如紧$\ell_2$ -表征的边扩展，以及一个新的理解本地到全球的算法HDX。对于后者，我们引入了一个频谱复杂性的措施，称为剥离阈值排名，并显示它如何可以取代（大得多）阈值排名控制算法的性能结构化对象。结合前$\ell_2$特征的平方和证明，我们给出了一个具体的应用程序，这个框架的独特的游戏算法的HD散步，在许多情况下，提高了最先进的[RBS 11，ABS 15]从近指数多项式时间（例如，稀疏化的约翰逊图或切片的$q$ ary超立方体）。我们对扩展的表征也与近似的硬度有着有趣的联系，其中格拉斯曼图的$\ell_\infty$ -变体最近被用于解决2-2博弈猜想[KMS 18]。我们从相关的$\ell_\infty$ -变体到我们的$\ell_2$ -表征给出了一个减少，但它在$\ell_2$和$\ell_\infty$结构之间的间隙很大的硬度感兴趣的制度中丢失了因素。尽管如此，我们打开了…
2021-07-18 cs.CC math.CO
The Unique Games Conjecture, Integrality Gap for Cut Problems and Embeddability of Negative Type Metrics into $\ell_1$
本文证明了Goemans和Linial的一个猜想，即每一个负型度量嵌入到$\ell_1$中，且具有常数的畸变.我们发现，对于一个任意小的常数$δ> 0$，对于所有足够大的$n$，有一个$n$点负型度量，需要失真至少$(\log\log n)^{1/6-δ}$嵌入到$\ell_1.$令人惊讶的是，我们的建设是受独特的游戏猜想（UGC）的霍特，建立一个以前未被怀疑的连接之间的概率检验证明系统（PCP）和度量嵌入的理论。我们首先证明，UGC意味着一个超常数硬度的结果（非均匀）Sparcident切割问题。虽然这个硬度的结果依赖于UGC，我们证明，然而，相应的PCP减少可以用来构建一个“完整性差距实例”的Sparcadium切。为此，我们首先构建了一个完整性差距的唯一游戏的自然SDP放松的例子。然后，我们“模拟”的PCP减少和“翻译”的完整性差距的独特的游戏实例的完整性差距的Spartament切割的实例。这使我们能够证明一个$(\log \log n)^{1/6-δ}$完整性间隙的Sparling-Cut，这是已知的是等价的度量嵌入下界。
2013-05-20 cs.CC cs.DS math.MG
Algorithms and Hardness for Subspace Approximation
子空间近似问题Subspace（$k$，$p$）要求一个$k$维线性子空间，它最优地拟合给定的点集，其中拟合误差是最小二乘拟合的推广，并使用$\ell_{p}$范数代替。大多数以前的子空间近似的工作集中在小或常数$k$和$p$，使用coresets和采样技术从计算几何。本文在凸松弛和舍入的基础上，给出了一个多项式时间算法\emph{for any $k$ and any $p \geq 2$}，其近似保证约为$γ_{p} \sqrt{2 - \frac{1}{n-k}}$，其中$γ_{p}$是标准正态随机变量N（0，1）的$p$阶矩.我们发现，我们使用的凸松弛有一个完整性差距（或“秩差距”）的$γ_{p} (1 - ε)$，任何常数$ε> 0$。最后，我们表明，假设唯一的游戏猜想，子空间近似问题是很难近似的一个因素比$γ_{p} (1 - ε)$，任何常数$ε> 0$。
2010-12-30 cs.CC cs.DS
The Complexity of Cluster Vertex Splitting and Company
本文研究重叠图聚类的覆盖、边编辑与顶点分裂三种表述，证明覆盖及顶点分裂问题的 NP 困难性，给出 $O(k)$ 顶点核，并解决带顶点分裂的簇编辑问题的复杂性。
2024-04-03 cs.CC cs.DM cs.DS
Improved Hardness Results for Min-Max Optimization with Coupled Constraints
Bocconi university（博科尼大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
通过利用耦合约束而非目标函数结构，简化并加强了非凸非凹极小极大问题的PPAD难度证明，并证明在一般约束下凸凹（双线性）问题也是PPAD难的。
2026-05-27 cs.CC cs.GT
Hardness and Approximation of Submodular Minimum Linear Ordering Problems
本文通过归约证明了图拟阵最小线性排序问题的 NP 难性，并利用主划分理论提出单调次模 MLOP 的新组合近似算法，同时给出拟阵 MLOP 和最小延迟顶点覆盖的改进近似界。
2023-10-26 cs.CC cs.DS
A Note on the Concrete Hardness of the Shortest Independent Vectors Problem in Lattices
Blömer和Seifert证明了$\mathsf{SIVP}_2$是NP难近似的，只要$\mathsf{CVP}$实例具有某种性质，就可以对常数近似因子从$\mathsf{CVP}_2$约化为$\mathsf{SIVP}_2$。为了正式定义这个要求的$\mathsf{CVP}$实例，我们引入了一个新的计算问题，称为间隙最接近的向量问题与有界极小值。我们调整Blömer和Seifert的证明，以显示从有界极小值的间隙最近向量问题到$\mathsf{SIVP}$的减少，对于任何$\ell_p$范数，对于一些常数逼近因子大于$1$。在最近的结果中，Bennett，Golovnev和Stephens-Davidowitz表明，在Gap-ETH下，对于任何$1 \leq p \leq \infty$，没有$2^{o(n)}$时间算法用于将$\mathsf{CVP}_p$近似为某个恒定因子$γ\geq 1$。我们观察到，在他们的论文中的减少可以被视为从$\mathsf{Gap3SAT}$减少到有界极小值的间隙最近向量问题。这与上面提到的减少一起意味着，在Gap-ETH下，对于任何$1 \leq p \leq \infty$，不存在用于将$\mathsf{SIVP}_p$近似到某个恒定因子$γ\geq 1$的$2^{o(n)}$时间算法。
2020-10-31 cs.CC cs.DS
CSPs with Global Modular Constraints: Algorithms and Hardness via Polynomial Representations
研究了在模M的不同选择下，当赋值在某个同余类中必须具有Hamming权时，布尔约束满足问题的复杂性.由于已知的易处理的布尔CSP的分类，这主要减少到三种情况下的研究：2-SAT，HORN-SAT和LIN-2（线性方程模2）。我们对这些相应问题在多项式时间内可解的模M进行分类，以及当它们不可解时（假设ETH）。我们的研究表明，这种模块化约束为这些经典的、经过充分研究的问题提供了惊人的丰富性，与复杂性理论和编码理论有着更广泛的联系。HORN-SAT情况与表示NAND函数mod M的多项式的覆盖复杂度有关。LIN-2的情况与表示OR函数mod M的多项式的稀疏性有关，这又与线性码和局部可解码码的模块化权重分布特性有关。在这两种情况下，我们的算法的分析以及硬度降低依赖于这些多项式表示，突出了我们的算法和显示硬度的小工具的硬情况之间有趣的代数共同点。这些新的多项式表示的复杂性措施值得进一步研究。我们研究的灵感来自于Nägele，Sudakov和Zenklusen最近的一项关于具有全局同余约束的子模最小化的工作。我们的HORN-SAT算法有很强的相似性，他们的算法，特别是相同的一套系统出现在这两种情况下。我们的多项式表示的连接导致一个更简单的分析这样的集合系统，也揭示了（但没有解决）的复杂性，子模最小化的同余要求模复合M。
2019-02-13 cs.CC cs.DS cs.IT
Hardness of parameter estimation in graphical models
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们考虑的问题，学习规范参数指定一个无向图形模型（马尔可夫随机场）的平均参数。对于表示极小指数族的图模型，标准参数由平均参数唯一确定，因此该问题原则上是可行的。本文的目标是调查这个统计任务的计算可行性。我们的主要结果表明，参数估计一般是棘手的：没有算法可以学习的规范参数的一般成对的二进制图形模型的平均参数在时间上有界的多项式的变量的数量（除非RP = NP）。事实上，这样的结果被认为是正确的（见Wainwright和Jordan（2008）的专著），但没有证据。我们的证明给出了一个多项式时间减少近似的硬核模型的配分函数，已知是困难的，学习近似参数。我们的减少需要表明，边际多面体边界具有固有的排斥性，这验证了多面体的优化过程，不使用任何知识，其结构（所需的椭球方法和其他）。
2014-09-17 cs.AI cs.CC cs.IT
On the Fine-Grained Hardness of Inverting Generative Models
New York University（纽约大学）
本文研究了生成模型反演的计算硬度，在SETH和ETH假设下，通过归约从k-SAT、CVP等问题，为精确和近似反演建立了新的指数级复杂度下界。
2023-09-11 cs.CC cs.LG stat.ML
Why we couldn't prove SETH hardness of the Closest Vector Problem for even norms!
本文揭示了证明偶数范数下最近向量问题（CVP）和最短向量问题（SVP）SETH硬度存在的障碍，证明了此类高效归约将导致coNP包含于NP/Poly，首次展示了格问题在不同范数下的分离。
2023-11-25 cs.CC cs.CR cs.DS
