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关于Monge-Ampère类型方程内部$C^2$估计的反例

On Counterexamples to Interior $C^2$ Estimates for Monge-Ampère Type Equations

Cheuk Yan Fung

备注：
13 pages
发表信息：
NoDEA Nonlinear Differ. Equ. Appl. 33, Art. 100 (2026)
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AI总结：

本文通过构造反例证明Monge-Ampère类型方程在高维情况下不存在先验的$C^2$估计。

摘要：

我们修改Pogorelov经典的构造，以证明对于维度$n\geq 3$的方程$\det(D^2 u \pm Du\otimes Du) = f(x)$不存在先验的$C^2$估计。我们构造了一序列解$z_\varepsilon$，其二阶导数在原点处随着$\varepsilon\rightarrow 0$而发散，而对应的右端项$f_\varepsilon$则具有统一的$C^2$估计。具体来说，反例由$z_\varepsilon(x_1, \dots, x_n) = (1+x_1^2)(1+x_2^2)(\varepsilon^2 + \eta^2)^{\alpha/2}$给出，其中$\eta= \sqrt{x_3^2 + \dots + x_n^2}$且$\alpha= 2 - \frac{2}{n}$。

英文摘要：

We modify Pogorelov's classic construction to demonstrate the absence of a priori $C^2$ estimates for the equations $\det(D^2 u \pm Du \otimes Du) = f(x)$ in dimension $n \ge 3$. We construct a sequence of solutions $z_\varepsilon$ with second derivatives blowing up at the origin as $\varepsilon \rightarrow 0$, while the corresponding right-hand sides $f_\varepsilon$ admit uniform $C^2$ estimates. Specifically, the counterexamples are given by $z_\varepsilon(x_1, \dots, x_n) = (1+x_1^2)(1+x_2^2)(\varepsilon^2 + η^2)^{α/2},$ where $η= \sqrt{x_3^2 + \dots + x_n^2}$ and $α= 2 - \frac{2}{n}$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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