四面体（或 $6j$）符号
The Tetrahedral (or $6j$) Symbol
AI总结：
本文研究了四面体边标记为三元正交群不可约表示的标量不变量，推广了$6j$符号理论，并展示了其与韦伊群的对称性及相对朗兰兹对偶性的关系。
摘要：
我们将一个四面体的边标记为三元正交群 $\mathrm{SO}_3$ 在局部域上的不可约表示，然后赋予一个标量不变量。这推广了由Racah、Wigner和Regge发展出的$6j$符号的理论。我们给出了这个不变量的几个公式，包括以超几何型积分和函数表示的公式，并展示了它通过具有$23040$个元素的$\mathrm{Spin}_{12}$的韦伊群对称性。然后我们将这些结果解释为相对朗兰兹对偶性，其中对偶故事来自$\mathrm{Spin}_{12}$在16维旋量锥上的作用。
英文摘要：
We will attach a scalar invariant to a tetrahedron whose edges are labelled by irreducible representations of a ternary orthogonal group $\mathrm{SO}_3$ over a local field. This generalizes the $6j$ symbol whose theory was developed by Racah, Wigner, and Regge. We give several formulas for this invariant, including in terms of hypergeometric-type integrals and functions, and show that it admits a symmetry by the the $23040$-element Weyl group of $\mathrm{Spin}_{12}$. We then interpret these results in terms of relative Langlands duality, where the dual story comes from the action of $\mathrm{Spin}_{12}$ on a $16$-dimensional cone of spinors.
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