高斯混合的Cheeger问题
Cheeger's isoperimetric problem for Gaussian mixtures
AI总结：
本文研究了高斯混合分布的Cheeger常数和集，通过半空间表征并验证了猜想解，探讨了参数唯一性条件。
摘要：
在任意维度n中，我们确定了高斯混合μ(x) = pγ(x-a) + (1-p)γ(x-b)的Cheeger常数和Cheeger集，其中p∈[0,1]，a,b∈R^n，γ:R^n→(0,∞)表示一个高斯函数。特别地，我们通过特定的垂直于a-b的半空间来表征μ的Cheeger集，从而验证了高斯混合的Cheeger问题的猜想解。最后，我们研究了参数p,a,b的 regime，其中μ具有唯一的Cheeger集。
英文摘要：
In any dimension $n$, we determine the Cheeger constant and the Cheeger sets of the Gaussian mixture $μ(x) = pγ(x-a) + (1-p)γ(x-b)$, where $p \in [0,1]$, $a,b \in \mathbb{R}^n$, and $γ: \mathbb{R}^n \to (0,\infty)$ denotes a Gaussian. In particular, we characterize the Cheeger sets for $μ$ in terms of specific half-spaces perpendicular to $a-b$, thereby confirming the conjectured solution to the Cheeger problem for Gaussian mixtures. Finally, we study the regime of parameters $p,a,b$ in which $μ$ admits a unique Cheeger set.
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