wreath 产品中的 Jucys-Murphy 元素及其在动态随机多 Young 图中的应用
Jucys--Murphy Elements for Wreath Products and Their Application to Dynamical Random Multi-Diagrams
AI总结：
本文研究了 wreath 产品中的 Jucys-Murphy 元素及其在动态随机多 Young 图中的应用，通过组合分析和自由概率工具推导了极限形状的动态性质。
摘要：
有限群 T 与对称群 $\mathfrak{S}_n$ 的 wreath 产品 $\mathfrak{S}_n(T) = T^n \rtimes \mathfrak{S}_n$ 的不可约表示的等价类由 $\mathbb{Y}_n(\widehat{T})$ 参数化，即具有总大小 n 的 $\lvert \widehat{T}\rvert$-tuple Young 图。我们展示了一个公式，将这些 Young 图的 Kerov 转移测度与 $\mathfrak{S}_n(T)$ 的 Jucys-Murphy 元素联系起来。这个公式在对称群的情况下由 Biane 提出。该公式使我们能够通过 Jucys-Murphy 元素的组合分析来研究多图形状的渐进行为。另一方面，在 $\mathbb{Y}_n(\widehat{T})$ 上引入了一个马尔可夫链，该链自然反映了 wreath 产品群的塔结构的分支规则。通过将离散时间替换为计数过程，我们从该链中获得了一个连续时间随机过程。我们的项目是通过适当的时空缩放极限，确定多图在每个宏观时间点的确定性极限形状，并描述相关特征量的演变。特别是，我们通过使用自由概率工具，在假设初始集合具有近似因子分解性质和暂停时间分布的附加性质的情况下，推导了在交换群 T 情况下的动态集中极限形状。
英文摘要：
The equivalence classes of irreducible representations of wreath product $\mathfrak{S}_n(T) = T^n \rtimes \mathfrak{S}_n$ of finite group $T$ with respect to symmetric group $\mathfrak{S}_n$ are parametrized by $\mathbb{Y}_n(\widehat{T})$, the $\lvert \widehat{T}\rvert$-tuple Young diagrams with total size $n$. We show a formula connecting the Kerov transition measures of these Young diagrams with the Jucys--Murphy elements of $\mathfrak{S}_n(T)$. This formula is due to Biane in the case of symmetric groups. The formula enables us to investigate asymptotic property of the shapes of multi-diagrams through combinatorial analysis for the Jucys--Murphy elements. On the other hand, a Markov chain is introduced on $\mathbb{Y}_n(\widehat{T})$, canonically reflecting the branching rule for the tower of wreath product groups. We have a continuous time stochastic process on $\mathbb{Y}_n(\widehat{T})$ from this chain by replacing the discrete time by a counting process. Our project is to specify the deterministic limit shape of multi-diagrams at each macroscopic time through appropriate space-time scaling limit, and to describe evolution of related quantities characterizing the shape. Especially, we derive dynamical concentrated limit shapes in the case of abelian $T$ by using free probability tools under the assumption of approximate factorization property for initial ensembles with an additional property of a pausing time distribution.
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