Λ-可接受子空间用于自共轭矩阵的特征值簇问题
Lambda admissible subspaces of self adjoint matrices
AI总结：
本文提出了一种新的Λ-可接受子空间类，用于自共轭矩阵的特征值簇问题，分析了相关算法的性质及子空间距离的上界。
摘要：
给定一个自共轭矩阵A和一个指数h，使得λ_h(A)位于A的特征值簇中，我们引入了新的Λ-可接受子空间类，其维度为h。首先，我们证明了低秩近似形式P_T A P_T，其中T是一个接近任何A的Λ-可接受子空间的子空间，具有良好的性质。然后，我们证明了一些已知的迭代算法（如子空间迭代法或Krylov子空间法）产生的子空间可以无限接近于Λ-可接受子空间。我们获得了通过Rayleigh-Ritz方法应用于A得到的子空间与Λ-可接受子空间类之间的距离上界。我们还找到了计算A的Λ-可接受子空间类的（多值）映射的条件数的上界。最后，我们包含了一些数值示例，展示了在特征值簇设置中考虑这一新子空间类的优势。
英文摘要：
Given a self-adjoint matrix $A$ and an index $h$ such that $λ_h(A)$ lies in a cluster of eigenvalues of $A$, we introduce the novel class of $Λ$-admissible subspaces of $A$ of dimension $h$. First, we show that the low-rank approximation of the form $P_{\mathcal{T}} A P_{\mathcal{T}}$, for a subspace $\mathcal{T}$ that is close to any $Λ$-admissible subspace of $A$, has nice properties. Then, we prove that some well-known iterative algorithms (such as the Subspace Iteration Method, or the Krylov subspace method) produce subspaces that become arbitrarily close to $Λ$-admissible subspaces. We obtain upper bounds for the distance between subspaces obtained by the Rayleigh-Ritz method applied to $A$ and the class of $Λ$-admissible subspaces. We also find upper bounds for the condition number of the (set-valued) map computing the class of $Λ$-admissible subspaces of $A$. Finally, we include numerical examples that show the advantage of considering this new class of subspaces in the clustered eigenvalue setting.
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