Kolmogorov系统中不变n球的Darboux第一积分
Darboux first integrals of Kolmogorov systems with invariant $n$-sphere
AI总结：
本文研究了Kolmogorov向量场在标准n球不变时的多项式特性，展示了度数为m的完全可积向量场，并探讨了立方Hamiltonian向量场在奇数维球不变时的条件，以及立方Kolmogorov向量场的Darboux第一积分存在条件。
摘要：
本文中，我们 characterize 所有多项式Kolmogorov向量场，使得标准n球不变。我们展示了在$\mathbb{S}^n$上度数为m的完全可积Kolmogorov向量场，对于任何m > 2。然后，我们显示不存在使奇数维球不变的立方Hamiltonian Kolmogorov向量场。我们检查立方Kolmogorov向量场具有Darboux第一积分的条件。在许多情况下，我们确定这些是否为必要和充分条件。此外，我们研究了具有不变n球的立方Kolmogorov向量场的完全可积性。
英文摘要：
In this paper, we characterize all polynomial Kolmogorov vector fields for which the standard $n$-sphere is invariant. We exhibit completely integrable Kolmogorov vector fields of degree $m$ on $\mathbb{S}^n$ for any $m >2$. Then, we show that there is no cubic Hamiltonian Kolmogorov vector field that makes an odd-dimensional sphere invariant. We examine the conditions under which a cubic Kolmogorov vector field has a Darboux first integral. In many cases, we determine whether they constitute necessary and sufficient conditions. Moreover, we study the complete integrability of cubic Kolmogorov vector fields having an invariant $n$-sphere.
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