有限畸变的值：Reshetnyak定理、Liouville定理和Lusin (N)性质
Values of finite distortion: Reshetnyak's theorem, the Liouville theorem, and the Lusin (N) -property
AI总结：
本文引入有限畸变值的概念，统一了有限畸变映射与拟正则值理论，并在尖锐可积性假设下建立了Reshetnyak定理和Liouville定理的单值类比，同时证明了满足更一般畸变不等式的映射保持零测集。
摘要：
设$Ω\subset \mathbb{R}^n$是一个区域，$f \in W^{1,n}_{\text{loc}} (Ω,\mathbb{R}^n)$。我们称$f$在$y_0 \in \mathbb{R}^n$处有一个有限畸变的值，如果存在可测函数$K \colon Ω\to [0,\infty)$和$Σ\in L^1_{\text{loc}} (Ω)$使得对几乎所有的$x \in Ω$有\[ \lvert Df(x) \rvert^n \le K(x) \det Df (x) + Σ(x) \lvert f(x)-y_0 \rvert^n. \] 这一概念统一了经典的有限畸变映射理论与最近引入的拟正则值理论。在关于$K$和$Σ$的尖锐可积性假设下，我们建立了Reshetnyak定理和Liouville定理的单值类比。我们还证明了满足更一般的带缺陷畸变不等式的映射保持勒贝格零测集。
英文摘要：
Let $Ω\subset \mathbb{R}^n$ be a domain and $f \in W^{1,n}_{\text{loc}} (Ω,\mathbb{R}^n)$. We say that $f$ has a value of finite distortion at $y_0 \in \mathbb{R}^n$ if there exist measurable functions $K \colon Ω\to [0,\infty)$ and $Σ\in L^1_{\text{loc}} (Ω)$ such that \[ \lvert Df(x) \rvert^n \le K(x) \det Df (x) + Σ(x) \lvert f(x)-y_0 \rvert^n \quad \text{for a.e. } x \in Ω. \] This notion unifies the classical theory of mappings of finite distortion with the recently introduced theory of quasiregular values. Under sharp integrability assumptions on $K$ and $Σ$, we establish single-value analogues of Reshetnyak's theorem and the Liouville theorem. We also prove that mappings satisfying a more general distortion inequality with defect preserve sets of Lebesgue measure zero.
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