序列相互扩散的定量收敛与高斯波动：通过增量相对熵
Quantitative Convergence for Sequential Interacting Diffusions via Incremental Relative Entropy
AI总结：
本文研究了序列相互扩散系统的定量收敛与高斯波动，通过增量相对熵证明了路径空间熵的衰减及经验测度的收敛性，并建立了波动测度的高斯极限。
摘要：
我们研究了一个序列相互扩散系统，其中粒子i仅与其前驱者通过经验测度μ_t^{i-1}相互作用，从而得到一个有向、非可交换的平均场近似 McKean-Vlasov 扩散。在有界系数和非退化常数扩散的条件下，我们证明了增量路径空间相对熵的锐利衰减，$$ R_i(T):=H\left(P^{1:i}_{[0,T]}\vert P^{1:i-1}_{[0,T]}\otimes \bar P_{[0,T]}\right) \lesssim \frac{1}{i-1}, \quad i\ge2, $$ 其中$P^{1:i}_{[0,T]}$是前i个粒子路径的分布，$\bar P_{[0,T]}$是 McKean-Vlasov 路径分布。将增量求和得到全局估计$$ H \left(P^{1:N}_{[0,T]}\, \vert \,\bar P_{[0,T]}^{\otimes N}\right)\ \lesssim\ \log N, $$ 以及尾块的定量解耦界。作为结果，经验测度在负Sobolev拓扑下以标准$N^{-1/2}$尺度收敛到 McKean-Vlasov 方程。我们还建立了波动测度的高斯波动极限，其中序列架构在极限线性SPDE中产生显式反馈修正。我们的证明依赖于Girsanov表示、马尔可夫差替代前驱经验测度为平均条件测度以及上包络论据。
英文摘要：
We study a lower-triangular system of interacting diffusions in which particle \(i\) interacts only with its predecessors through the empirical measure \(μ^{i-1}_t\). This gives a directed, non-exchangeable approximation of the same McKean--Vlasov diffusion as the classical exchangeable particle system. We introduce an incremental path-space relative entropy adapted to the causal structure, $$ R_i(T) = H \left(P^{1:i}_{[0,T]}\,\middle|\,P^{1:i-1}_{[0,T]}\otimes \bar P_{[0,T]}\right), $$ and prove the sharp estimate \(R_i(T)\lesssim (i-1)^{-1}\). Furthermore, we obtain convergence of the empirical measure to the McKean--Vlasov law at the canonical \(N^{-1/2}\) scale in negative Sobolev norms. The proof combines a Girsanov representation, a martingale-difference replacement of predecessor empirical measures by averaged conditional measures, an upper-envelope closure, and a negative Sobolev energy estimate.
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