非标准分析在一致性风险估计中的应用：超有限表示、离散Kusuoka公式以及插值渐近性
Coherent risk from finite models
AI总结：
本文提出非标准分析框架用于一致性风险估计，通过超有限表示、离散Kusuoka公式及插值渐近性方法，实现风险度量的稳健性和一致性分析。
摘要：
我们开发了一个非标准分析框架，用于一致风险度量及其有限样本类比，一致风险估计器，基于Aichele、Cialenco、Jelito和Pitera最近的工作。在$ L^\infty $上的一致风险度量被实现在Loeb概率空间上的内部支撑函数的标准化部分，而一致风险估计器则作为有限网格限制出现。我们的主要结果包括：（i）一个超有限稳健表示定理，该定理通过有限影子得到一致风险估计器的稳健表示结果；（ii）对于法不变的一致风险估计器，离散Kusuoka表示为离散预期亏损的混合体的上确界，其定义域为$\{k/n:k=1,\ldots,n\}$；（iii）在Lipschitz谱类上，对于规范的谱插值估计器，具有显式速率的均匀几乎必然一致性；（iv）在紧性和统一估计假设下，Kusuoka型插值一致性定理；（v）通过非标准分析重新表述的功能delta方法，实现谱插值估计器的自助检验有效性（在标准光滑性假设下）；（vi）通过超有限中心极限定理获得渐近正态性。超有限观点提供了一个概率到统计学的透明字典：将风险度量应用于一个分布相当于在超有限经验测度上评估内部函数并取标准化部分。我们包含了一个标准的自包含的非标准工具介绍。
英文摘要：
Coherent estimators at different sample sizes need not describe the same population risk. We prove that dyadic estimators do so exactly when duplicating every scenario leaves the estimate unchanged, and recover the population dual set from the finite models. The risk of a Bernoulli loss determines the exact Wasserstein, Kolmogorov and total-variation moduli on a common bounded support. It also characterises uniform estimability, with an impossibility bound for arbitrary randomised estimators. An intrinsic floor on tail levels gives an explicit optimal Lipschitz constant and a uniform approximation defect; every deterministic vanishing floor preserves pointwise strong consistency. A nonstandard construction supplies compatible estimators at all finite sample sizes, explicit block-sum weights, and a formula for the worst-case mass created by infinitesimal tail levels. Finally, we derive uniform regret bounds for data-driven risk-averse optimisation and specialise them to stop-loss retention. Exact binomial calculations compare regularised and original estimators against the same population target.
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