X-拓扑格的更高分离公理及其在交换(半)环中的应用
Higher Separation Axioms for $X$-top Lattices Applications to Commutative (Semi)rings
AI总结：
本文研究了X-拓扑格的分离公理，探讨了其在交换（半）环素理想谱中的应用。
摘要：
我们研究了几种X-拓扑格（即一个格L，其中给定的子集X⊆L\{1\}允许一种类似扎里斯基拓扑的结构）的分离公理。此类空间是T₀的，通常远离成为T₂。我们为X-拓扑格提供充分/必要条件，使得X成为T₂、正则（T₃）、完全正则（T₃₁⁄₂）、正则、完全正则或完美正则（T₆）。我们主要将结果应用于交换（半）环素理想（resp. 最大、最小理想）的谱。我们通过多个例子/反例来说明我们的结果。
英文摘要：
We study several separation axioms for $X$-top-lattices (i.e. a lattice $L$ for which a given subset $X\subseteq L\backslash \{1\}$ admits a \emph{% Zariski-like topology}). Such spaces are $T_{0}$ and usually far away from being $T_{2}.$ We provide sufficient/necessary conditions for an $X$-top lattice so that $X$ is $T_{2},$ \emph{regular} ($T_{3}$), \emph{completely regula}r ($T_{3\frac{1}{2}}$), \emph{normal}, \emph{completely normal} or \emph{perfectly normal} ($T_{6}$). We apply our results mainly to the spectrum of prime (resp. maximal, minimal) ideals of a commutative (semi)ring. We illustrate our results with several examples/counterexamples.
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