准$F^{\infty}$-分裂高度与准$F$-正则高度对于有理双点和格雷德环的研究
Quasi-$F^{\infty}$-split height versus quasi-$F$-regular height for rational double points and graded rings
AI总结：
本文研究了准$F^{\infty}$-分裂高度与准$F$-正则高度在有理双点和格雷德环中的相等性，揭示了非$F$-纯环的性质。
摘要：
在本文中，我们研究了与准$F$-奇点相关的一种现象：在合适的假设下，准$F^{\infty}$-分裂高度（$\mathrm{ht}^{\infty}$）的有限性意味着准$F$-正则性，并且进一步，$\mathrm{ht}^{\infty}$与准$F$-正则高度（$\mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$）相等。我们为两种重要的孤立格雷德 singularities 类型建立了这种相等性。首先，我们明确计算了所有有理双点的$\mathrm{ht}^{\infty}$和$\mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$，显示每个非$F$-纯有理双点满足$\mathrm{ht}^\infty = \mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$。其次，对于局部化后的格雷德非$F$-纯正常格雷德环，其$F$-理性穿孔谱，我们再次获得了等式$\mathrm{ht}^{\infty} = \mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$。
英文摘要：
In this paper, we study a phenomenon concerning quasi-$F$-singularities: under suitable hypotheses, the finiteness of the quasi-$F^{\infty}$-split height ($\mathrm{ht}^{\infty}$) implies quasi-$F$-regularity, and moreover, $\mathrm{ht}^{\infty}$ coincides with the quasi-$F$-regular height ($\mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$). We establish this coincidence for two important classes of isolated Gorenstein singularities. First, we explicitly compute $\mathrm{ht}^{\infty}$ and $\mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$ for all rational double points, showing that every non-$F$-pure rational double point satisfies $\mathrm{ht}^\infty = \mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$. Second, for localizations of graded non-$F$-pure normal Gorenstein rings with $F$-rational punctured spectrum, we again obtain the equality $\mathrm{ht}^\infty = \mathrm{ht}^{\mathrm{reg}}$.
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