QPTAS and Subexponential Algorithm for Maximum Clique on Disk Graphs
一个（单位）圆盘图是平面上闭（单位）圆盘的交图。大约三十年前，一个优雅的多项式时间算法被发现\textsc{Maximum Clique}的单位盘图[克拉克，Colbourn，约翰逊;离散数学'90]。从那时起，它一直是一个有趣的开放性问题，是否可追溯性可以扩展到一般的磁盘图。我们展示了一个相当令人惊讶的结构结果，一个不相交的联盟的周期是补充的磁盘图当且仅当在最多的一个周期是奇数长度。从这一点，我们得出的第一个QPTAS和次指数算法运行在时间$2^{\tilde{O}(n^{2/3})}$为\textsc{Maximum Clique}上的磁盘图。与此形成鲜明对比的是，填充椭圆或填充三角形的相交图上的\textsc{Maximum Clique}不太可能具有这样的算法，即使当椭圆接近单位圆盘时也是如此。事实上，我们表明，有一个常数的近似，这是无法实现的，即使在时间$2^{n^{1-\varepsilon}}$，除非指数时间假说失败。
2018-02-28 cs.CG cs.DS
The Maximum Clique Problem in a Disk Graph Made Easy
该研究提出圆盘图邻接关系研究新视角，给出多类圆盘/球图的最大团求解多项式时间算法，解决了双半径圆盘图等开放问题，提升了单位圆盘矩形区域最大团求解速度。
2024-07-15 cs.CG cs.DS
Parameterized Study of Steiner Tree on Unit Disk Graphs
研究了单位圆盘图上的Steiner树问题。给定$n$顶点单元圆盘图$G$、$t$顶点的子集$R\subseteq V(G)$和正整数$k$，目标是判定$G$中是否存在树$T$，该树跨越$R$的所有顶点，并且最多使用来自$V\setminus R$的$k$顶点. $R$的顶点称为终端，而$V(G)\setminus R$的顶点称为Steiner顶点。首先，我们证明该问题是NP-困难的。其次，我们证明了单位圆盘图上的Steiner树问题可以在$n^{O(\sqrt{t+k})}$时间内求解。我们还表明，施泰纳树问题的$k$参数化的单位盘图有一个FPT算法的运行时间$2^{O(k)}n^{O(1)}$。事实上，这些算法是为更一般的一类图设计的，称为cx-grid graphs。我们提到，算法的结果可以工作的Steiner树的磁盘图有界的纵横比。最后证明了由$k$参数化的圆盘图上的Steiner树是W[1]-硬的.
2020-04-20 cs.CG
EPTAS and Subexponential Algorithm for Maximum Clique on Disk and Unit Ball Graphs
一个（单位）圆盘图是平面上闭（单位）圆盘的交图。大约三十年前，一个优雅的多项式时间算法被发现\textsc{Maximum Clique}的单位盘图[克拉克，Colbourn，约翰逊;离散数学'90]。从那时起，它一直是一个有趣的开放性问题，是否可追溯性可以扩展到一般的磁盘图。我们证明了两个奇圈的不交并不是一个圆盘图的补图，也不是一个单位（三维）球图的补图。从这一事实和现有的结果，我们得到一个简单的QPTAS和一个次指数算法运行的时间$2^{\tilde{O}(n^{2/3})}$为\textsc{Maximum Clique}上的磁盘和单位球图。然后，我们得到了一个随机EPTAS计算图的独立数没有不相交的两个奇循环作为一个诱导子图，有界VC-维，和线性独立数。这，结合我们的结构结果，产生一个随机EPTAS的\textsc{Max Clique}上的磁盘和单位球图。单位球图上的\textsc{Max Clique}等价于给定$\mathbb R^3$中的点的集合，找到直径至多为某个固定值的点的最大子集。与此形成鲜明对比的是，球图上的\textsc{Maximum Clique}和单位$4$维球图，以及填充椭圆（甚至接近单位圆盘）或填充三角形的相交图不太可能有这样的算法。事实上，我们表明，对于所有这些问题，有一个常数比的近似，甚至不能达到时间$2^{n^{1-\varepsilon}…
2021-10-28 cs.CC cs.CG cs.DS
Subexponential Algorithms for Clique Cover on Unit Disk and Unit Ball Graphs
本文研究单位圆盘图和单位球图上的团覆盖问题，提出单位圆盘图上的 $2^{O(\sqrt{n})}$ 时间算法并证明其在 ETH 下最优，同时证明 5 维单位球图上不存在 $2^{o(n)}$ 时间算法，揭示了该问题的维度诅咒现象。
2024-10-04 cs.CG cs.DS
Maximum Clique in Disk-Like Intersection Graphs
研究了平面上凸体交图的最大团的复杂性。在算法方面，我们扩展多项式时间算法的单位磁盘[克拉克'90，Raghavan和Spinrad '03]的任何固定的凸集的翻译。我们还推广了有效的多项式时间近似方案（EPTAS）和次指数算法的磁盘[Bonnet等。'18，Bonamy等。'18]到一个固定的中心对称凸集的同位。关于这个主题的主要开放问题是圆盘图中最大团的复杂性。目前还不知道这个问题是否是NP难的。我们观察到，到目前为止，所有的硬度证明最大团的交集图类$\mathcal I$遵循相同的道路。证明了对于一个足够大的类$\mathcal C$的图$G$，其偶数剖分的补图属于交类$\mathcal I$ .然后他们得出结论调用类$\mathcal C$上的最大独立集的硬度，以及偶数细分保持该硬度的事实。然而，有一个强有力的证据表明，这种方法不能工作的磁盘图[Bonnet等人。我们提出了一种新的方法，基于一个问题，我们称之为最大间隔排列避免，我们证明不太可能有一个次指数时间近似方案。我们转移的硬度最大团相交图形的对象，可以是半平面（或单位磁盘）或轴平行的矩形。这个问题不适用于以前的办法。我们希望最大间隔置换避免的一个缩小的（仅仅是NP难的）变体可以帮助在磁盘的情况下取得进展，例如通过显示（凸）伪磁盘的NP难。
2020-03-05 cs.CC cs.CG cs.DS
Computing Maximum Cliques in Unit Disk Graphs
本文研究单位圆盘图的最大团计算问题，提出了运行时间为$O(n \log n + n K^{4/3+o(1)})$的改进算法（其中$K$为最大团大小），并在点处于凸位置时给出了更快的随机算法及特定情况下的确定性算法。
2025-06-27 cs.CG cs.DS
Finding Cliques in Geometric Intersection Graphs with Grounded or Stabbed Constraints
University of Saskatchewan（萨斯喀彻温大学）
研究在接地或刺穿约束下几何交图中寻找最大团的问题，证明其NP难性并提出多项式时间算法及近似算法。
2025-12-20 cs.CG cs.DM
A Weakly-Robust PTAS for Minimum Clique Partition in Unit Disk Graphs
研究了单位圆盘图的顶点划分问题。这个问题是NP困难的，已知有各种常数因子近似，目前最好的比率是3。我们的主要结果是对用边长表示的UDG的一个{ \em弱鲁棒}多项式时间近似方案（PTAS），它（i）计算团划分或（ii）证明图不是UDG：对于（i）计算团划分的情况，我们证明了如果输入是UDG，它保证在最优值的$(1+\eps)$比之内;然而，如果输入不是UDG，则它或者如在情况（i）中那样计算团分区而不保证团分区的质量，或者检测到它不是UDG。注意到，识别UDG的是NP难的，即使我们给定的边长，我们的PTAS是一个弱鲁棒算法。我们的算法可以转化为一个$O(\frac{\log^* n}{\eps^{O(1)}})$时间分布的PTAS。我们考虑一个加权版本的团划分问题的顶点加权UDG，推广的问题。我们注意到与未加权版本的一些关键区别，其中的想法有助于获得PTAS细分。然而，令人惊讶的是，它承认一个$(2+\eps)$ -近似算法的加权的情况下，图表示，说，作为一个邻接矩阵。这改进了以标准形式表示的UDG的{ \em未加权}情况的最佳已知的8-近似。
2009-12-03 cs.CG cs.DC cs.DM
Dynamic parameterized problems on unit disk graphs
本文针对动态单位圆盘图上的基本参数化问题，首次提出高效数据结构，实现$k$-路径/环的$2^{O(\sqrt{k})}$更新时间和$O(k)$查询时间，其他问题支持$O(\log n)$更新和$2^{O(\sqrt{k})}$查询。
2024-09-20 cs.CG cs.DS
Parameterized Geometric Graph Modification with Disk Scaling
本文研究通过圆盘缩放修改圆盘相交图的参数化问题，针对无边、连通和无环三类基本图设计参数化算法与核，结合线性规划、分支、核化及二维性理论分析圆盘面积。
2024-11-20 cs.CG cs.DS
Layered tree-independence number and clique-based separators
本文研究分层树独立数与基于团的分隔子等参数关系，在几何交图上给出参数界，并导出加权独立集和反馈顶点集等问题的次指数或拟多项式时间算法。
2025-06-14 cs.CG cs.DM math.CO
Product Structure and Treewidth of Hyperbolic Uniform Disk Graphs
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文研究了超几何均匀盘图的乘积结构与树宽，证明了具有常数团数的HUDGs不具有乘积结构，且当半径随顶点数增长时，HUDGs具有乘积结构。
2026-03-19 cs.CG cs.DM math.CO
Decomposition of Map Graphs with Applications
二维性是设计特殊图类（特别是平面图）的次指数时间参数化算法的最常用技术。它背后的核心引擎是Robertson，Seymour和Thomas的组合引理，该引理指出每个平面图要么有一个$\sqrt{k}\times \sqrt{k}$ -网格作为子图，要么它的树宽是$O(\sqrt{k})$。然而，二维性理论不能直接扩展到几个著名的几何图形类。然而，这个引理的松弛已经被证明对单位圆盘图有用。受此启发，我们证明了一个新的分解引理的地图。非正式地，我们的引理陈述如下。对于任何映射图$G$，存在$G$的团的集合$(U_1,\ldots,U_t)$，其具有以下性质：$G$或者包含$\sqrt{k}\times \sqrt{k}$ -网格作为子图，或者它允许树分解，其中每个袋是上述集合中的团的$O(\sqrt{k})$的并集。新引理似乎是一个方便的工具，在设计次指数参数化算法的地图。我们证明了它的可用性，通过设计算法的地图图形与运行时间$2^{O({\sqrt{k}\log{k}})} \cdot n^{O(1)}$的连接平面$\cal F$ -删除问题（包括问题，如反馈顶点集和顶点覆盖）。获得最长循环/路径和循环包装的次指数算法更具挑战性。我们必须构造具有更强大属性的树分解，并证明最优解在这些分解中可以“穿过”袋子的方式的数量的次线性界限。对于最长循环/路径，这些是映射图上的第一个次指数时间参…
2019-03-04 cs.CG cs.DS
Distributed coloring and the local structure of unit-disk graphs
有效地着色单位圆盘图是一个重要的问题，在全球和分布式设置，与无线电信道分配问题时，通信依赖于全向天线的相同功率的应用程序。在这种情况下，重要的是不仅要约束着色算法的复杂性，而且要约束所使用的颜色的数量。在本文中，我们考虑两个自然分布的设置。在位置感知的情况下（当节点知道它们在平面上的坐标时），给出了一个常数时间分布的算法，对任意单位圆盘图$G$进行至多$4ω(G)$颜色着色，其中$ω(G)$是$G$的团数.这改进了经典的3-近似算法为这个问题，所有的单位圆盘图的色数显着超过他们的团数。当节点不知道它们在平面上的坐标时，我们给出了一个分布式算法，在该算法中，每个单位圆盘图$G$在$O(\log^* n)$轮中最多用$5.68ω(G)+1$颜色着色.该算法是基于单位圆盘图的局部结构的研究，这是独立的利益。我们猜想每个单位圆盘图$G$的平均度至多为$4ω(G)$，这意味着在该模型中存在一个用（近似）$4ω(G)$颜色对任何单位圆盘图$G$着色的$O(\log n)$轮算法.我们提供了部分结果对这个猜想使用傅立叶分析工具。
2022-12-13 cs.CG cs.DC math.CO
Finding, Hitting and Packing Cycles in Subexponential Time on Unit Disk Graphs
我们给算法的运行时间$2^{O({\sqrt{k}\log{k}})} \cdot n^{O(1)}$为以下问题。给定一个$n$ -顶点单位圆盘图$G$和一个整数$k$，判定$G$是否包含（1）恰好/至少$k$顶点上的路径，（2）恰好在$k$顶点上的圈，（3）至少在$k$顶点上的圈，（4）大小至多为$k$的反馈顶点集，以及（5）$k$成对顶点不相交循环的集合。对于前三个问题，没有亚指数时间参数化算法是以前已知的。对于剩下的两个问题，我们的算法显着优于以前最好的已知的参数化算法，运行时间$2^{O(k^{0.75}\log{k})} \cdot n^{O(1)}$。我们的算法是基于一种新的树分解的单位盘图中的分隔符可以有大小高达$k^{O(1)}$，并存在一个解决方案，交叉每个分隔符在最多$O(\sqrt{k})$倍。假设指数时间假设，我们的算法的运行时间是最佳的指数中的$\log{k}$因子。
2017-04-24 cs.CG cs.DS
Subcoloring of (Unit) Disk Graphs
本文研究（单位）圆盘图的子着色问题，证明单位圆盘图子色数可在多项式时间内3-近似，给出若干NP困难性结果，并证明一般圆盘图存在O(log^3 n)种颜色的子着色及O(log^2 n)近似算法。
2025-06-24 cs.CC cs.CG cs.DS
Bidimensionality and Geometric Graphs
在本文中，我们使用的几个关键思想，从二维给一个新的通用方法来设计EPTAS和次指数时间参数化算法的问题上的类图，这不是小封闭的，而是表现出几何结构。特别是，我们目前的EPTAS和次指数时间参数化算法的反馈顶点集，顶点覆盖，连通顶点覆盖，钻石击中集，地图图和单位盘图，以及循环包装和最小顶点反馈边集的单位盘图。我们的结果是基于Fomin等人[SODA 2011]最近证明的分解定理，我们的算法直接在输入图上工作。因此，不需要计算输入图的几何表示。据我们所知，这些结果是以前未知的，除了EPTAS和顶点覆盖的单位圆盘图的次指数时间参数化算法，分别由Marx [ESA 2005]和Alber和Fiala [J. Algorithms 2004]获得。我们继续表明，我们的方法不能在其充分的一般性扩展到更一般的几何图类，如R^d，d >= 3的单位球的相交图。具体地说，我们证明了R^3中单位球图上的反馈顶点集不允许PTAS，除非P=NP，也不允许次指数时间算法，除非指数时间假设失败。此外，我们表明，分解定理，我们的方法是基于失败的磁盘图，因此，我们的结果扩展到磁盘图将需要新的算法思想。另一方面，我们证明了我们的EPTAS和亚指数时间算法的顶点覆盖和连通顶点覆盖进行两个圆盘图和单位球图在R^d的任何固定的d。
2011-11-07 cs.CG cs.DS math.CO
