可证明的扩散后验采样用于贝叶斯反问题
Provable Diffusion Posterior Sampling for Bayesian Inversion
AI总结：
本文提出了一种基于扩散的可证明后验采样方法，通过数据学习分数以捕捉先验分布结构，并提供非渐近误差界以确保复杂多模态后验分布的收敛性。
摘要：
本文提出了一种基于扩散的后验采样方法，该方法在即插即用（PnP）框架内进行。我们的方法通过使用暖启动策略初始化粒子，从易于采样的终端分布到目标后验分布构建概率传输。为了近似后验分数，我们开发了一种蒙特卡洛估计器，其中粒子通过朗之万动力学生成，避免了先验工作中常用的启发式近似。控制朗之万动力学的分数从数据中学习，使模型能够捕捉底层先验分布的丰富结构特征。在理论方面，我们提供了非渐近误差界，证明该方法即使在复杂、多模态的目标后验分布下也能收敛。这些界明确量化了后验分数估计、暖启动初始化和后验采样过程中的误差。我们的分析进一步澄清了先验分数匹配误差和贝叶斯反问题的条件数如何影响整体性能。最后，我们展示了在一系列反问题中的数值实验，证明了所提出方法的有效性。
英文摘要：
We propose a novel diffusion-based posterior sampling method within a plug-and-play framework. Our approach constructs a probability transport from an easy-to-sample distribution to the target posterior via a diffusion process. To initialize the sampler efficiently, we introduce a warm-start strategy for the particles. The posterior score is then approximated using a Monte Carlo estimator in which samples are generated via Langevin dynamics, avoiding the heuristic approximations prevalent in prior work. The score function driving the Langevin dynamics is learned from data, enabling the model to capture rich structural features of the underlying prior. We also establish non-asymptotic error bounds in Wasserstein-2 distance guaranteeing convergence of the proposed method even for complex, multimodal posterior distributions. We corroborate our theoretical findings with numerical experiments demonstrating the effectiveness of the method across a variety of inverse problems.
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