On the existence of extremal solutions for the conjugate discrete-time Riccati equation
本文针对源自离散时间反线性系统线性二次调节问题的共轭离散时间Riccati方程，在已有最大解存在性结论基础上，找到一类受关注较少的厄米特解，证明部分极值解无法共存且几乎所有（反）镇定解与部分极值解重合，为相关最优控制问题提供理论支撑。
2024-11-03 cs.NA math.NA math.OC
A Low-rank ADI Algorithm for the Numerical Solution of Large Discrete-time Non-symmetric Algebraic Riccati Equations
Yangtze University（长江大学）
本文提出一种低秩ADI算法，用于高效求解大规模离散时间非对称代数Riccati方程，通过递归构造低秩镇定解并自动生成移位，在10^6至10^7维问题上验证了准确性和效率。
2026-09-21 cs.NA cs.SY eess.SY
Large-Scale Algebraic Riccati Equations with High-Rank Nonlinear Terms and Constant Terms
对于含有高阶非线性项和常数项的大规模离散代数Riccati方程，其稳定解不再是数值上的低秩解，这给计算和存储带来了困难.然而，在一些适当的控制问题，如电力系统，潜在的结构的状态矩阵-带状加低秩，可能会使大规模计算基本上是可行的。本文在非线性项和常数项的带状逆的框架下，提出了一种因式分解的保结构加倍算法。详细分析了FSDA算法的迭代格式和收缩过程。引入部分截断和压缩技术，尽可能地减少低秩因子列的维数。对残差的计算和结构化模型的终止条件进行了重新设计。
2021-07-25 cs.NA math.NA
The intrinsic Toeplitz structure and its applications in algebraic Riccati equations
针对离散时间代数 Riccati 方程稳定解，本文揭示其内在 Toeplitz 闭式结构，并结合 FFT 提出适用于低秩大规模离散与连续问题的高效算法。
2022-09-08 cs.NA math.NA
Stochastic algebraic Riccati equations are almost as easy as deterministic ones theoretically
针对随机代数 Riccati 方程求解难题，本文提出新的理论框架并揭示其内在代数结构，证明其理论求解难度几乎与确定性经典方程相同。
2023-03-02 cs.NA math.NA math.OC
Flexible fixed-point iteration and its applications for nonsymmetric algebraic Riccati equations
针对具有稀疏低秩结构的大规模非对称代数 Riccati 方程，提出含灵活 Leja 位移的 RADI 型不动点迭代以计算稳定解，并验证其效率。
2025-09-30 cs.NA math.NA
The convergence analysis of an accelerated iteration for solving algebraic Riccati equations
离散时间代数Riccati方程（DARE）在最优控制问题中有着广泛的应用。我们为DARE解的稳定性提供了新的理论支持，并降低了加速不动点迭代（AFPI）计算DARE数值解的收敛条件.特别地，我们证明了当闭环矩阵的谱半径大于1时，AFPI的收敛是R-超线性的，这是通过温和的假设和只用初等矩阵理论证明的。数值例子表明了我们的理论结果的一致性和有效性。
2021-10-22 cs.NA math.NA math.OC
Invariant subspaces of $T$-palindromic pencils and algebraic $T$-Riccati equations
利用求解代数$\top$ -Riccati方程和计算$\top$ -回文矩阵束的某些收缩子空间之间的联系，我们得到了这两个问题的理论和计算结果.在理论上，我们引入了避免$\top$ -回文矩阵束模1特征值存在的条件和$\top$ -Riccati方程解存在的条件.在计算上，我们改进了回文QZ算法与一个新的排序过程，并引入新的算法来计算紧缩子空间的$\top$ -回文铅笔，基于二次化的铅笔或上的整表示的正交投影寻求紧缩子空间。
2023-02-21 cs.NA math.NA
On the Approximation of Operator-Valued Riccati Equations in Hilbert Spaces
本文建立了Hilbert空间上算子值Riccati方程逼近的抽象理论，证明近似解误差由主导半群逼近误差控制，并给出抛物与双曲情形下有限元逼近的最优误差估计，通过弱阻尼波动和热LQR系统算例验证了理论结果。
2024-09-28 cs.NA math.NA math.OC
Palindromic linearization and numerical solution of nonsymmetric algebraic T-Riccati equations
我们确定了一个非对称代数T-Riccati方程（T-NARE）的解决方案和紧缩子空间的回文矩阵束，通过安排的T-NARE的系数之间的关系。T-NARE和回文铅笔之间的相互作用允许一个导出方程的解的理论性质，和它的数值解的新方法。特别地，我们提出了基于（回文）QZ算法和加倍算法的方法，其有效性通过几个数值试验证明
2021-10-07 cs.NA math.NA
Invariant Galerkin Ansatz Spaces and Davison-Maki Methods for the Numerical Solution of Differential Riccati Equations
微分Riccati方程出现在控制和系统理论等应用数学的不同领域。最近发展了基于Krylov子空间的Galerkin方法来求解自治微分Riccati方程。这些方法克服了数值解的巨大存储需求和计算成本。鉴于记忆有效的近似，我们审查和扩展已知的解决方案的公式，并确定不变子空间的可能低维的解决方案表示。基于这些理论研究结果，我们提出了一个Galerkin投影到一个空间相关的代数Riccati方程的低秩近似。对于数值实现，我们提供了一个替代的解释修改后的\emph{Davison-Maki method}通过变换流的微分Riccati方程，这使我们能够排除已知的稳定性问题的方法结合建议的投影计划。我们提出了大规模自治微分Riccati方程的数值实验，并比较我们的方法与高阶分裂计划。
2019-10-29 cs.NA math.NA
The State-Dependent Riccati Equation in Nonlinear Optimal Control: Analysis, Error Estimation and Numerical Approximation
University of Ferrara（费拉拉大学）
本文研究了非线性最优控制中状态依赖性里卡蒂方程的理论分析、误差估计及数值近似方法，提出最优半线性分解策略并评估了两种数值方法的性能。
2026-03-08 cs.NA math.NA math.OC
A numerical comparison of solvers for large-scale, continuous-time algebraic Riccati equations and LQR problems
本文讨论求解大规模连续时间代数Riccati方程的数值方法。近年来，这些方法一直是深入研究的焦点，并且在各种竞争算法的理论理解和有效实现方面都取得了重大进展。这份手稿有几个目标：首先，在一个地方收集解决大规模Riccati方程的不同方法的概述，并指出每个方法的最新进展。第二，分析和比较这些算法的主要计算成分，发现它们的优点和潜在的瓶颈。最后，在一组相关的基准测试示例上比较所有方法的有效实现，给出它们的相对性能。
2020-04-10 cs.NA math.NA
On the Solution of the Nonsymmetric T-Riccati Equation
非对称T-Riccati方程是一个二次矩阵方程，其中线性部分对应于先前在文献中研究过的所谓的T-Sylvester或T-Lyapunov算子。它在宏观经济学和政策动力学中有应用。迄今为止，这是数值分析中一个未被探索的问题，无论是理论结果还是计算方法，在文献中都缺乏。本文给出了非负最小解存在唯一性的若干充分条件，并深入分析了其计算效率。无论是小规模和大规模的设置解决和Newton-Kleinman-like方法的推导。证明了这些方法收敛于最小解，数值结果说明了所提出方法的计算效率。
2020-03-08 cs.NA math.NA
Low-rank alternating direction doubling algorithm for solving large-scale continuous time algebraic Riccati equations
针对大规模稀疏连续时间代数Riccati方程，提出基于交替方向倍增的低秩算法R-ADDA，利用Cholesky分解和低秩性质，仅计算$2^k$次近似，节省存储且高效，经理论与实验验证有效。
2024-04-22 cs.NA math.NA
Low rank approximate solutions to large-scale differential matrix Riccati equations
Yildiz Technical University（伊斯坦布尔技术大学）；Université des Sciences et Technologies de Lille（里尔科学技术大学）；Université du Littoral Côte d’Opale（海岸-opal-带大学）
本文提出了一种基于降维的求解大规模连续时间微分矩阵Riccati方程的新方法，通过投影到扩展块Krylov子空间，将问题转化为低维微分代数Riccati方程，并利用BDF方法求解，最后通过残差表达式实现终止测试。
2017-04-11 cs.NA math.NA
Singular value decay of operator-valued differential Lyapunov and Riccati equations
Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）
本文研究了算子值微分李雅普诺夫和里卡蒂方程的奇异值衰减问题，证明在特定条件下解的奇异值快速衰减，扩展了代数方程的先前结果，并展示了初始条件为零时奇异值随时间趋近于零的收敛性。
2018-06-25 cs.NA math.NA math.OC
Analysis of the rational Krylov subspace projection method for large-scale algebraic Riccati equations
Università di Bologna（博洛尼亚大学）；IMATI-CNR（意大利国家研究委员会应用数学研究所）
本文分析了用于求解大规模代数里茨方程的有理克雷洛夫子空间投影法，探讨了该方法中矩阵A-BB^*X的作用及改进方法的理论基础。
2016-02-01 cs.NA math.NA
High Performance Computing of SDRE models with Discrete Kalman Filtering for Robust $H_{\infty}$-Controls
Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京数学与应用数学研究所）；School of Mathematics and Shing-Tung Yau Center, Southeast University（东南大学数学学院及陈省身数学中心）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences（上海数学与交叉学科研究院）；Research Institute of Intelligent Complex Systems, Fudan University（复旦大学智能复杂系统研究院）
针对SDRE控制中在线求解CAREs的计算瓶颈，提出投影通道$H_\infty$公式与离散卡尔曼滤波调度，采用SDA或Newton--Kleinman算法求解，在F-16和四旋翼仿真中验证了高效性与鲁棒性。
2026-09-30 cs.NA math.NA
Analysis of Krylov Subspace Approximation to Large Scale Differential Riccati Equations
University of Helsinki（赫尔辛基大学）；Yachay Tech（雅查伊科技大学）；University of Innsbruck（因斯布鲁克大学）
本文研究了大型微分Riccati方程的Krylov子空间近似方法，通过将方程投影到由矩阵A和低秩因子X0和Q张成的Krylov子空间上，证明了该方法保持了精确解的正性和单调性，并提供了理论上的先验误差分析，展示了超线性收敛性，同时推导了高效的后验误差估计并讨论了多重时间步与数值解秩截断的结合。
2018-12-29 cs.NA math.NA
A Subspace Shift Technique for Nonsymmetric Algebraic Riccati Equations
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
针对非对称代数Riccati方程在接近临界情况时迭代收敛慢的问题，提出一种基于问题特征值不变子空间的子空间移位方法，理论分析和数值实验验证了其加速收敛的有效性。
2011-12-06 cs.NA math.NA
Multiscale differential Riccati equations for linear quadratic regulator problems
Chalmers University of Technology（查尔姆斯理工大学）；University of Gothenburg（哥德堡大学）
本文研究多尺度操作符下线性二次调节问题的微分里茨方程近似解，提出局部正交分解法在粗网格上实现高精度计算，证明了二阶收敛性及低秩处理方法。
2018-06-18 cs.NA math.NA
