再谈平均维数与率失真函数
Mean dimension and rate-distortion function revisited
AI总结：
利用局部熵理论工具，围绕平均维数和率失真函数展开研究。证明非遍历测度下平均Rényi信息维数与信息维数率相等，引入四类率失真熵并建立其与柯尔莫哥洛夫 - 西奈熵的关系，还给出标记性质系统相关结论。
摘要：
围绕平均维数和率失真函数，本文利用局部熵理论的一些工具建立了以下主要结果：(1) 我们证明对于与几乎必然过程相关的非遍历测度，平均Rényi信息维数与信息维数率一致。这回答了Gutman和Śpiewak提出的一个问题。(2) 我们引入了四种类型的率失真熵并建立了它们与柯尔莫哥洛夫 - 西奈熵的关系。(3) 我们表明对于具有标记性质的系统，如果平均维数是有限的，那么Lindenstrauss - Tsukamoto双变分原理中的上确界可以在遍历测度集上取到。此外，双变分原理对各种其他测度理论的ε - 熵也成立。
英文摘要：
Around the mean dimensions and rate-distortion functions, using some tools from local entropy theory this paper establishes the following main results: $(1)$ We prove that for non-ergodic measures associated with almost sure processes, the mean Rényi information dimension coincides with the information dimension rate. This answers a question posed by Gutman and Śpiewak (in Around the variational principle for metric mean dimension, \emph{Studia Math.} \textbf{261}(2021) 345-360). $(2)$ We introduce four types of rate-distortion entropies and establish their relation with Kolmogorov-Sinai entropy. $(3)$ We show that for systems with the marker property, if the mean dimension is finite, then the supremum in Lindenstrauss-Tsukamoto's double variational principle can be taken over the set of ergodic measures. Additionally, the double variational principle holds for various other measure-theoretic $ε$-entropies.
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