周期驱动的非谐链：收敛幂级数与数值研究
Periodically Driven anharmonic chain: Convergent Power Series and Numerics
AI总结：
本文研究两端阻尼、中间受周期驱动的钉扎非谐振子链的长时间周期态，利用关于非谐强度ν的收敛幂级数证明其全局稳定性，并给出超越严格结果的数值研究。
摘要：
我们研究由 $2N+1$ 个振子组成的钉扎链的长时间行为，振子指标为 $x \in \{-N,\ldots, N\}$。该系统在 $x=0$ 处的粒子上受到周期为 $θ=2π/ω$ 的外部驱动力作用，并在两端 $x=-N$ 和 $N$ 处受到摩擦阻尼 $γ>0$。振子之间通过钉扎和最近邻的谐振势以及非谐势相互作用，势的形式为 $\frac{ω_0^2 q_x^2}{2}+\frac12 (q_{x}-q_{x-1})^2 +ν\left[V(q_x)+U(q_x-q_{x-1}) \right]$，其中 $V''$ 和 $U''$ 有界，且 $ν\in \mathbb{R}$。我们回顾了最近证明的关于 $ν$ 的幂级数微扰展开在 $|ν| < ν_0$ 时的收敛性和全局稳定性，该展开给出了系统的长时间周期态。这里 $ν_0$ 仅依赖于 $V''$ 和 $U''$ 的上确界范数，以及 $ω$ 的非负整数重数集合到区间 $[ω_0,\sqrt{ω_0^2+4}]$ 的距离——该区间是 $ν=0$ 时无限谐振链的谱。我们还描述了该系统的一些超越我们严格结果的数值研究。
英文摘要：
We investigate the long time behavior of a pinned chain of $2N+1$ oscillators, indexed by $x \in\{-N,\ldots, N\}$. The system is subjected to an external driving force on the particle at $x=0$, of period $θ=2π/ω$, and to frictional damping $γ>0$ at both endpoints $x=-N$ and $N$. The oscillators interact with a pinned and nearest neighbor harmonic plus anharmonic potentials of the form $\frac{ω_0^2 q_x^2}{2}+\frac12 (q_{x}-q_{x-1})^2 +ν\left[V(q_x)+U(q_x-q_{x-1}) \right]$, with $V''$ and $U''$ bounded and $ν\in \mathbb{R}$. We recall the recently proven convergence and the global stability of a perturbation series in powers of $ν$ for $|ν| < ν_0$, yielding the long time periodic state of the system. Here $ν_0$ depends only on the supremum norms of $V''$ and $U''$ and the distance of the set of non-negative integer multiplicities of $ω$ from the interval $[ω_0,\sqrt{ω_0^2+4}]$ - the spectrum of the infinite harmonic chain for $ν=0$. We describe also some numerical studies of this system going beyond our rigorous results.
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