在高维空间中使用随机演化的椭球进行球体排列
Lattice packing of spheres in high dimensions using a stochastically evolving ellipsoid
AI总结：
本文提出了一种在高维空间中通过随机演化的椭球构造高密度球体排列的方法，证明了其密度下限为c n²·2⁻ⁿ，优于之前的结果。
摘要：
我们证明在任意维度n中，存在一个体积为c n²的中心对称椭球E⊆Rⁿ，其内部除了原点外不含Zⁿ中的其他点，其中c>0是一个常数。等价地，存在一个在Rⁿ中的晶格球体排列，其密度至少为c n²·2⁻ⁿ。此前已知的在Rⁿ中构造球体排列的方法得到的密度最大为C n log n·2⁻ⁿ。我们的证明利用了一个随机演化的椭球，该椭球至少在边界上积累了c n²个晶格点，而内部除了原点外不含其他晶格点。
英文摘要：
We prove that in any dimension $n$ there exists an origin-symmetric ellipsoid ${\mathcal{E}} \subset {\mathbb{R}}^n$ of volume $ c n^2 $ that contains no points of ${\mathbb{Z}}^n$ other than the origin, where $c > 0$ is a universal constant. Equivalently, there exists a lattice sphere packing in ${\mathbb{R}}^n$ whose density is at least $cn^2 \cdot 2^{-n}$. Previously known constructions of sphere packings in ${\mathbb{R}}^n$ yielded densities of at most $C n \log n \cdot 2^{-n}$. Our proof utilizes a stochastically evolving ellipsoid that accumulates at least $c n^2$ lattice points on its boundary, while containing no lattice points in its interior except for the origin.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
