关于流形假设下的经验霍奇拉普拉斯算子
On empirical Hodge Laplacians under the manifold hypothesis
AI总结：
研究欧几里得空间闭子流形上独立同分布观测值，将图拉普拉斯算子高阶推广为霍奇拉普拉斯算子近似拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子，给出相关狄利克雷形式高概率误差界，改进现有误差界并为拓扑数据分析提供见解。
摘要：
给定在欧几里得空间闭子流形上均匀分布的独立同分布观测值，我们研究图拉普拉斯算子的高阶推广，即图上的霍奇拉普拉斯算子，作为微分形式上拉普拉斯 - 贝尔特拉米算子的近似。我们的主要结果是相关狄利克雷形式的高概率误差界。此界改进了拉普拉斯特征映射背景下图拉普拉斯算子的现有狄利克雷形式误差界，并为拓扑数据分析中研究的贝蒂数和频谱的互补正部分提供了见解。
英文摘要：
Given i.i.d. observations uniformly distributed on a closed submanifold of the Euclidean space, we study higher-order generalizations of graph Laplacians, so-called Hodge Laplacians on graphs, as approximations of the Laplace-Beltrami operator on differential forms. Our main result is a high-probability error bound for the associated Dirichlet forms. This bound improves existing Dirichlet form error bounds for graph Laplacians in the context of Laplacian Eigenmaps, and it provides insights into the Betti numbers studied in topological data analysis and the complementing positive part of the spectrum.
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