两个在 $\Bbb F_2$ 上的绝对不可约多项式及其对 Carlet 猜想的应用
Two Absolutely Irreducible Polynomials over $\Bbb F_2$ and Their Applications to a Conjecture by Carlet
AI总结：
本文研究 $\Bbb F_2$ 上与 Carlet 猜想相关的两个齐次对称多项式，利用 Lang-Weil 界及二者之间的联系证明 $Θ_k$ 在 $k\ge 3$ 时绝对不可约，从而改进了关于 Carlet 猜想的已有结果。
摘要：
两个定义在 $\Bbb F_2$ 上的多项式 $F_k(X_1,\dots,X_k)$ 和 $Θ_k(X_1,\dots,X_k)$ 源于对 C. Carlet 关于 $\Bbb F_{2^n}$ 的乘法逆函数和自由性猜想的研究。$F_k$ 和 $Θ_k$ 都是齐次且对称的，且 $\text{deg}\\,F_k=2^k-2$，$\text{deg}\\,Θ_k=2^{k-1}$。已知 $F_k$ 在 $k\ge 3$ 时是绝对不可约的。利用 Lang-Weil 界以及 $F_k$ 与 $Θ_k$ 之间的一个有趣联系，我们证明了 $Θ_k$（$k\ge 3$）也是绝对不可约的。这一结论使我们能够改进关于 Carlet 猜想的若干已有结果。
英文摘要：
Two polynomials $F_k(X_1,\dots,X_k)$ and $Θ_k(X_1,\dots,X_k)$ over $\Bbb F_2$ arose from the study of a conjecture by C. Carlet about the sum-freedom of the multiplicative inverse function of $\Bbb F_{2^n}$. Both $F_k$ and $Θ_k$ are homogeneous and symmetric with $\text{deg}\,F_k=2^k-2$ and $\text{deg}\,Θ_k=2^{k-1}$. It is known that $F_k$ is absolutely irreducible for $k\ge 3$. Using the Lang-Weil bound and a curious connection between $F_k$ and $Θ_k$, we show that $Θ_k$ ($k\ge 3$) is also absolutely irreducible. This conclusion allows us to improve several existing results about Carlet's conjecture.
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