关于有序 Ruzsa-Szemerédi 图的一个注记
A note on Ordered Ruzsa-Szemerédi graphs
AI总结：
本文证明有序 Ruzsa-Szemerédi 图与经典 Ruzsa-Szemerédi 图在密度上大致等价，从而回答了 Behnezhad 和 Ghafari 提出的问题，并为动态近似最大匹配算法的复杂度分析建立了更清晰的联系。
摘要：
Behnezhad 和 Ghafari [FOCS 2024] 最近取得的突破以及 Assadi、Khanna 和 Kiss [SODA 2025] 的后续工作，给出了全动态 $(1-\varepsilon)$-近似最大匹配问题的算法，其运行时间由一个纯组合量决定：有序 Ruzsa-Szemerédi（ORS）图的最大密度。我们称图 $G$ 是一个 $(r,t)$-ORS 图，如果它的边可以被划分为 $t$ 个匹配 $M_1,M_2, \ldots, M_t$，每个匹配的大小为 $r$，并且对于每个 $i$，$M_i$ 是子图 $M_{i} \cup M_{i+1} \cup \cdots \cup M_t$ 中的一个诱导匹配。这是对已被广泛研究的 Ruzsa-Szemerédi（RS）图概念的放松，区别在于在 RS 图中，每个 $M_i$ 必须是 $G$ 中的诱导匹配。在本注记中，我们证明这两个概念大致等价。具体来说，令 $\mathrm{ORS}(n)$ 为使得存在一个 $n$ 顶点 ORS-$(Ω(n), t)$ 图的最大 $t$，并类似地定义 $\mathrm{RS}(n)$。我们证明，如果 $\mathrm{ORS}(n) \ge Ω(n^c)$，那么对于任意固定的 $δ> 0$，有 $\mathrm{RS}(n) \ge Ω(n^{c(1-δ)})$。这解决了 Behnezhad 和 Ghafari 提出的一个问题。
英文摘要：
A recent breakthrough of Behnezhad and Ghafari [FOCS 2024] and subsequent work of Assadi, Khanna, and Kiss [SODA 2025] gave algorithms for the fully dynamic $(1-\varepsilon)$-approximate maximum matching problem whose runtimes are determined by a purely combinatorial quantity: the maximum density of Ordered Ruzsa-Szemerédi (ORS) graphs. We say a graph $G$ is an $(r,t)$-ORS graph if its edges can be partitioned into $t$ matchings $M_1,M_2, \ldots, M_t$ each of size $r$, such that for every $i$, $M_i$ is an induced matching in the subgraph $M_{i} \cup M_{i+1} \cup \cdots \cup M_t$. This is a relaxation of the extensively-studied notion of a Ruzsa-Szemerédi (RS) graph, the difference being that in an RS graph each $M_i$ must be an induced matching in $G$. In this note, we show that these two notions are roughly equivalent. Specifically, let $\mathrm{ORS}(n)$ be the largest $t$ such that there exists an $n$-vertex ORS-$(Ω(n), t)$ graph, and define $\mathrm{RS}(n)$ analogously. We show that if $\mathrm{ORS}(n) \ge Ω(n^c)$, then for any fixed $δ> 0$, $\mathrm{RS}(n) \ge Ω(n^{c(1-δ)})$. This resolves a question of Behnezhad and Ghafari.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
