几乎所有无横截平面曲线都是平凡无横截的
Almost All Transverse-Free Plane Curves Are Trivially Transverse-Free
AI总结：
本文通过组合方法估计有限域上无横截曲线多项式集合的密度，证明几乎所有此类曲线在某直线的𝔽_q有理点处均含奇点，为有限域上Bertini定理的研究提供了新方法。
摘要：
我们称定义在有限域𝔽_q上的曲线C⊂ℙ²为“无横截”的，当且仅当对𝔽_q上的每一条直线ℓ，C∩ℓ都不是光滑的0维子概型。2004年，Poonen引入了密度概念以处理有限域上的Bertini定理。本文开发了密度计算方法，并将其应用于估计定义无横截曲线的多项式集合的密度。为此，我们采用基于PG(2,q)阻塞集的组合方法，证明了大小小于2q的此类集合数量的上界，从而得出几乎所有无横截曲线在𝔽_q上某条直线的每个𝔽_q有理点处都包含奇点的结论。
英文摘要：
We call a curve $C \subset \mathbb{P}^2$ defined over $\mathbb{F}_q$ \textit{transverse-free} if for every line, $\ell$, over $\mathbb{F}_q$, $C \cap \ell$ is not a smooth dimension $0$ subscheme. In 2004, Poonen introduced a notion of density to treat Bertini Theorems over finite fields. In this paper we develop methods for density computation and apply them to estimate the density of the set of polynomials defining transverse-free curves. In order to do so, we use a combinatorial approach based on blocking sets of $\mathrm{PG}(2, q)$ and prove an upper bound on the number of such sets of fixed size $< 2q$. We thus obtain that nearly all transverse-free curves contain singularities at every $\mathbb{F}_q$-rational point of some line over $\mathbb{F}_q$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
