可残余构造的扩展
Residually Constructible Extensions
AI总结：
本文研究了可残余构造扩展的分解性质，证明了其在特定条件下的可构造性，并解决了相关问题。
摘要：
设 $T$ 是一个扩展 $\mathrm{RCF}$ 的 o-最小理论，$T_\mathrm{convex}$ 是其模型通过谓词扩展非平凡 $T$-凸素环的共同理论。我们称一个初等扩展 $(\mathbb{E}, \mathcal{O}) \prec (\mathbb{E}_*, \mathcal{O}_*) \models T_{\mathrm{convex}}$ 为可残余构造的，如果存在一个元组 $\overline{s}$ 在 $\mathcal{O}_*$ 中，使得 $\mathbb{E}_* = \mathrm{dcl}(\mathbb{E},\overline{s})$，并且 $\overline{s}$ 在余数域排序中的投影 $\mathbf{res}(\overline{s})$ 在余数域 $\mathbf{res}(\mathbb{E}, \mathcal{O})$ 上 $\mathrm{dcl}$-独立。我们研究可残余构造扩展的分解性质。我们的主要结果是：一个可残余构造扩展 $(\mathbb{E}, \mathcal{O}) \prec (\mathbb{E}_*, \mathcal{O}_*)$ 具有性质：所有 $(\mathbb{E}_1, \mathcal{O}_1)$ 与 $(\mathbb{E}, \mathcal{O}) \prec (\mathbb{E}_1, \mathcal{O}_1) \prec (\mathbb{E}_*, \mathcal{O}_*)$ 在 $(\mathbb{E}, \mathcal{O})$ 上可残余构造，当且仅当 $\mathbb{E}_*$ 在 $\mathbb{E}$ 上具有可数 $\mathrm{dcl}$-维数或值域 $\mathbf{val}(\mathbb{E}_*, \mathcal{O}_*)$ 是短的（即不包含不可数良序子集）。这一分析解决了 [11, Problem 5.12]。
英文摘要：
Let $T$ be an o-minimal theory expanding $\mathrm{RCF}$ and $T_\mathrm{convex}$ be the common theory of its models expanded by predicate for a non-trivial $T$-convex valuation ring. We call an elementary extension $(\mathbb{E}, \mathcal{O}) \prec (\mathbb{E}_*, \mathcal{O}_*) \models T_{\mathrm{convex}}$ $\textit{res-constructible}$ if there is a tuple $\overline{s}$ in $\mathcal{O}_*$ such that $\mathbb{E}_* = \mathrm{dcl}(\mathbb{E},\overline{s})$, and the projection $\mathbf{res}(\overline{s})$ of $\overline{s}$ in the residue field sort is $\mathrm{dcl}$-independent over the residue field $\mathbf{res}(\mathbb{E}, \mathcal{O})$ of $(\mathbb{E}, \mathcal{O})$. We study factorization properties of res-constructible extensions. Our main result is that a res-constructible extension $(\mathbb{E}, \mathcal{O}) \prec (\mathbb{E}_*, \mathcal{O}_*)$ has the property that all $(\mathbb{E}_1, \mathcal{O}_1)$ with $(\mathbb{E}, \mathcal{O}) \prec (\mathbb{E}_1, \mathcal{O}_1) \prec (\mathbb{E}_*, \mathcal{O}_*)$ are res-constructible over $(\mathbb{E}, \mathcal{O})$, if and only if $\mathbb{E}_*$ has countable $\mathrm{dcl}$-dimension over $\mathbb{E}$ or the value group $\mathbf{val}(\mathbb{E}_*, \mathcal{O}_*)$ is $\textit{short}$ (i.e. contains no uncountable well-ordered subset). This analysis entails complete answers to [11, Problem 5.12].
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