下半连续包络的积分表示与非连续拉格朗日量的拉夫连季耶夫现象
Integral representations of lower semicontinuous envelopes and Lavrentiev Phenomenon for non continuous Lagrangians
AI总结：
该研究针对不假设凸性与连续性的非连续拉格朗日量泛函，证明了其在两类Sobolev空间中的下半连续包络可通过双极函数表示，并排除了自治拉格朗日量在两类空间间的拉夫连季耶夫现象。
摘要：
我们考虑泛函$$F_\infty(u)=\int_\Omega f(x,u(x),\nabla u(x)) dx \quad\quad u\in \varphi+ W_0^{1,\infty}(\Omega,\mathbb{R})$$其中$\Omega$是$\mathbb{R}^N$中的有界开Lipschitz子集，$\varphi\in W^{1,\infty}(\Omega)$。我们不假设拉格朗日量关于最后一个变量具有凸性或连续性。我们证明，在适当假设下，$F_\infty$在$\varphi+W^{1,\infty}(\Omega)$以及更大的空间$\varphi+W^{1,p}(\Omega)$中的下半连续包络都可以通过$f$的双极函数$f^{**}$来表示。特别地，我们还能排除自治拉格朗日量在$W^{1,\infty}(\Omega)$与$W^{1,1}(\Omega)$之间的拉夫连季耶夫现象。
英文摘要：
We consider the functional $$F_\infty(u)=\int_Ωf(x,u(x),\nabla u(x)) dx \quad\quad u\in φ+ W_0^{1,\infty}(Ω,\mathbb{R})$$ where $Ω$ is an open bounded Lipschitz subset of $\mathbb{R}^N$ and $φ\in W^{1,\infty}(Ω)$. We do not assume neither convexity or continuity of the Lagrangian w.r.t. the last variable. We prove that, under suitable assumptions, the lower semicontinuous envelope of $F_\infty$ both in $φ+W^{1,\infty}(Ω)$ and in the larger space $φ+W^{1,p}(Ω)$ can be represented by means of the bipolar $f^{**}$ of $f$. In particular we can also exclude Lavrentiev Phenomenon between $W^{1,\infty}(Ω)$ and $W^{1,1}(Ω)$ for autonomous Lagrangians.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
