子群生成二部图的Zagreb指数
Zagreb indices of subgroup generating bipartite graph
AI总结：
本文研究子群生成二部图 $\mathcal{B}(G)$，推导其两类 Zagreb 指数，并证明若干循环、二面体和双循环群满足 Hansen–Vukičević 猜想，同时计算多种拓扑指数。
摘要：
设 $G$ 为一个群，$L(G)$ 为 $G$ 的所有子群组成的集合。定义在 $G$ 上的子群生成二部图 $\mathcal{B}(G)$ 是一个二部图，其顶点集被划分为两个集合 $G \times G$ 和 $L(G)$；若顶点 $(a,b)\in G\times G$ 与 $H\in L(G)$ 满足 $H$ 由 $a$ 和 $b$ 生成，则二者相邻。本文推导了 $\mathcal{B}(G)$ 的第一和第二 Zagreb 指数的表达式，并得到了使 $\mathcal{B}(G)$ 满足 Hansen–Vukičević 猜想的条件〔Hansen, P. 与 Vukičević, D.，比较Zagreb指数，《Croatica Chemica Acta》，80(2)，165–168，2007〕。结果表明，当 $G$ 是阶为 $2p$、$2p^2$、$4p$、$4p^2$ 和 $p^n$ 的循环群；阶为 $2p$ 和 $2p^2$ 的二面体群；以及对任意素数 $p$，阶为 $4p$ 和 $4p^2$ 的双循环群时，$\mathcal{B}(G)$ 满足 Hansen–Vukičević 猜想。在计算 $\mathcal{B}(G)$ 的 Zagreb 指数时，我们对上述群中所有 $H\in L(G)$ 计算了 $°_{\mathcal{B}(G)}(H)$。利用这些信息，我们还计算了 $\mathcal{B}(G)$ 的 Randić 连通性指数、原子–键连通性指数、几何–算术指数、调和指数以及和–连通性指数。
英文摘要：
Let $G$ be a group and $L(G)$ be the set of all subgroups of $G$. The subgroup generating bipartite graph $\mathcal{B}(G)$ defined on $G$ is a bipartite graph whose vertex set is partitioned into two sets $G \times G$ and $L(G)$, and two vertices $(a, b) \in G \times G$ and $H \in L(G)$ are adjacent if $H$ is generated by $a$ and $b$. In this paper, we deduce expressions for first and second Zagreb indices of $\mathcal{B}(G)$ and obtain a condition such that $\mathcal{B}(G)$ satisfy Hansen-Vuki{č}evi{ć} conjecture [Hansen, P. and Vuki{č}evi{ć}, D. Comparing the Zagreb indices, {\em Croatica Chemica Acta}, \textbf{80}(2), 165-168, 2007]. It is shown that $\mathcal{B}(G)$ satisfies Hansen-Vuki{č}evi{ć} conjecture if $G$ is a cyclic group of order $2p, 2p^2, 4p$, $4p^2$ and $p^n$; dihedral group of order $2p$ and $2p^2$; and dicyclic group of order $4p$ and $4p^2$ for any prime $p$. While computing Zagreb indices of $\mathcal{B}(G)$ we have computed $°_{\mathcal{B}(G)}(H)$ for all $H \in L(G)$ for the above mentioned groups. Using these information we also compute Randic Connectivity index, Atom-Bond Connectivity index, Geometric-Arithmetic index, Harmonic index and Sum-Connectivity index of $\mathcal{B}(G)$.
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