一个浪费的公共独立集造成的阻碍
Hindrance from a wasteful common independent set
AI总结：
本文提出拟阵交猜想的突破性进展，通过推广König定理的“流行顶点”方法，证明若公共独立集满足特定浪费条件，则存在阻碍。
摘要：
对于（可能无限的）拟阵 $ M $ 和 $ N $，一个 $ (M,N) $-阻碍是一个集合 $ H $，它在 $ N.\mathsf{span}_M(H) $ 中是独立的但不是张成的。这个概念由 Aharoni 和 Ziv 在最早研究 Nash-Williams 拟阵交猜想的论文中引入。他们证明了该猜想等价于以下陈述：不存在阻碍意味着存在 $ N $ 的一个 $ M $-独立张成集。在本文中，我们提出了对拟阵交猜想的一个突破性进展。即，我们找到了在 König 定理无限版本的证明中应用的“流行顶点”方法的拟阵推广。本文的主要结果是应用这一新方法证明：如果 $ M $ 和 $ N $ 有一个公共独立集 $ I $，且它是“浪费的”，即 $ r(M/I)<r(N/I) $，那么存在一个 $ (M,N) $-阻碍。
英文摘要：
For (potentially infinite) matroids $ M $ and $ N $, an $ (M,N) $-hindrance is a set $ H$ that is independent but not spanning in $ N.\mathsf{span}_M(H) $. This concept was introduced by Aharoni and Ziv in the very first paper investigating Nash-Williams' Matroid Intersection Conjecture. They proved that the conjecture is equivalent to the statement that the non-existence of hindrances implies the existence of an $ M $-independent spanning set of $ N $. In this paper we present a breakthrough towards the Matroid Intersection Conjecture. Namely, we found a matroidal generalization of the `popular vertex' approach applied in the proof of the infinite version of König's theorem. The main result of this paper is an application of this new approach to show that if $ M $ and $ N $ admit a common independent set $ I $ that is ``wasteful'' in the sense that $ r(M/I)<r(N/I) $, then there exists an $ (M,N) $-hindrance.
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