关于带有全称量词的多项式矩阵的正则定理
Positivstellensätze for polynomial matrices with universal quantifiers
AI总结：
本文研究了带有全称量词的多项式矩阵不等式约束下的正则定理，提出矩阵值正则定理及稀疏正则定理，扩展了经典多项式正则定理的应用范围。
摘要：
本文研究了多项式矩阵在带有全称量词的多项式矩阵不等式约束下的正则定理。我们首先在阿基米德条件下建立了矩阵值正则定理，纳入了全称量词。对于标量多项式目标，进一步开发了利用这些量词约束中相关稀疏模式的稀疏正则定理。超越阿基米德框架，我们还推导了两种在类似设置下的广义正则定理。这些结果共同统一并扩展了三个不同背景下的基础定理：经典多项式正则定理、其全称量词对应物以及矩阵多项式形式化。还研究了所建立的正则定理在鲁棒多项式矩阵不等式约束优化中的应用。
英文摘要：
This paper investigates Positivstellensätze for polynomial matrices subject to universally quantified polynomial matrix inequality constraints. We first establish a matrix-valued Positivstellensatz under the Archimedean condition, incorporating universal quantifiers. For scalar-valued polynomial objectives, we further develop a sparse Positivstellensatz that leverages correlative sparsity patterns within these quantified constraints. Moving beyond the Archimedean framework, we then derive two generalized Positivstellensätze under analogous settings. These results collectively unify and extend foundational theorems in three distinct contexts: classical polynomial Positivstellensätze, their universally quantified counterparts, and matrix polynomial formulations. Applications of the established Positivstellensätze to robust polynomial matrix inequality constrained optimization are also investigated.
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