环的和-恒等双预层上模范畴的非阿贝尔性
Non-abelianess of the category of modules over a sum-id bipresheaf of rings
AI总结：
本文受 MacPherson 与 Patel 的阿贝尔群双层定义启发，引入小范畴上环的双预层及其模范畴，并通过线性 Grothendieck 构造证明和-恒等双预层上的模范畴可刻画为相应构造上的阿贝尔群双预层范畴，从而证明其非阿贝尔性。
摘要：
设 $\mathcal{C}$ 为小范畴，受 MacPherson 与 Patel 关于阿贝尔群双层的定义启发（参见 R. MacPherson 和 A. Patel 的论文《Persistent local systems》，Adv. in Math. 386: 107795, 2021，定义 5.1），我们首先引入 $\mathcal{C}$ 上环的双预层 $\mathfrak{R}$ 及其模范畴 $\mbox{Mod-} \mathfrak{R}$ 的概念。随后定义 $\mathfrak{R}$ 的线性 Grothendieck 构造 $Gr(\mathfrak{R})$。借助该线性 Grothendieck 构造，我们证明环的和-恒等双预层 $\mathfrak{R}$ 上的双预层模范畴可刻画为 $Gr(\mathfrak{R})$ 上阿贝尔群双预层的范畴。由此推出，环的和-恒等双预层 $\mathfrak{R}$ 上的模范畴 $\mbox{Mod-} \mathfrak{R}$ 是非阿贝尔的。
英文摘要：
Let $\mathcal{C}$ be a small category, motivated by the definition of bisheaves of abelian groups of MacPherson and Patel (see the Definition 5.1 of the paper: R. MacPherson and A. Patel. Persistent local systems. Adv. in Math. 386: 107795, 2021), we first introduce the notions of bipresheaves of rings $\mathfrak{R}$ on $\mathcal{C}$ and their module categories $\mbox{Mod-} \mathfrak{R}$. Then the linear Grothendieck construction $Gr(\mathfrak{R})$ of $\mathfrak{R}$ is defined. With this linear Grothendieck construction, we show that the category of bipresheaves of modules over a sum-id bipresheaf of rings $\mathfrak{R}$ can be characterized as the category of bipresheaves of abelian groups on $Gr(\mathfrak{R})$. It follows that the category $\mbox{Mod-} \mathfrak{R}$ of modules over a sum-id bipresheaf of rings $\mathfrak{R}$ is non-abelian.
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