大小、多样性、最小度、稳固性与 dömdödöm
Size, diversity, minimum degree, sturdiness, dömdödöm
AI总结：
本文定义统一集合族参数 $(p,q)$-dömdödöm，研究相交族中其最大保证值，确定固定参数下的数量级并给出 $q=1,2$ 的精确公式。
摘要：
对于一个集合族 $\mathcal{F}$ 和一对不相交集合 $A,B$，我们令 $\mathcal{F}(A,\overline{B})=\{F\in \mathcal{F}: A\subseteq F, ~B\cap F=\emptyset\}$。集合族 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 的 $(p,q)$-dömdödöm 定义为 $β_{p,q}(\mathcal{F})=\min\{|\mathcal{F}(A,\overline{B})|:|A|=p,|B|=q, A\cap B=\emptyset, A,B\subseteq [n]\}$。该定义将大小、多样性、最小度和稳固性作为特例包含在内。我们研究在所有 $k$-一致相交族 $\mathcal{F}\subset 2^{[n]}$ 上 $β_{p,q}(\mathcal{F})$ 的最大可能值 $β_{p,q}(n,k)$。对于所有固定的 $p,q,k$，我们确定了 $β_{p,q}(n,k)$ 的数量级。我们将 $β_{p,q}(n,k)$ 的渐近性与 $β_{0,q}(n,q+1)$ 的常数值联系起来，并在 $n$ 足够大时建立了 $β_{p,1}(n,k)=\binom{n-3-p}{k-2-p}$ 以及 $β_{p,2}(n,k)=2\binom{n-5}{k-3-p}-\binom{n-7}{k-5-p}$。
英文摘要：
For a family $\mathcal{F}$ of sets and a disjoint pair $A,B$ we let $\mathcal{F}(A,\overline{B})=\{F\in \mathcal{F}: A\subseteq F, ~B\cap F=\emptyset\}$. The \textbf{$(p,q)$-dömdödöm} of a family $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ is $β_{p,q}(\mathcal{F})=\min\{|\mathcal{F}(A,\overline{B})|:|A|=p,|B|=q, A\cap B=\emptyset, A,B\subseteq [n]\} $. This definition encompasses size, diversity, minimum degree, and sturdiness as special cases. We investigate the maximum possible value $β_{p,q}(n,k)$ of $β_{p,q}(\mathcal{F})$ over all $k$-uniform intersecting families $\mathcal{F}\subset 2^{[n]}$. We determine the order of magnitude of $β_{p,q}(n,k)$ for all fixed $p,q,k$. We relate the asymptotics of $β_{p,q}(n,k)$ to the constant value of $β_{0,q}(n,q+1)$ and establish $β_{p,1}(n,k)=\binom{n-3-p}{k-2-p}$ and $β_{p,2}(n,k)=2\binom{n-5}{k-3-p}-\binom{n-7}{k-5-p}$ if $n$ is large enough.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
