矩阵随机压缩的伪谱
The Pseudospectrum of Random Compressions of Matrices
AI总结：
本文研究从复 Grassmannian 上 Haar 测度采样子空间所得矩阵压缩的伪谱，证明其期望面积受多项式与对数因子及 ε^β 控制，并给出最小奇异值尾部界和非 Hermitian 二次型小球估计。
摘要：
矩阵 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ 在子空间 $V\subset\mathbb C^n$ 上的压缩是指矩阵 $Q^*AQ$，其中 $Q$ 的列构成 $V$ 的一组标准正交基。这在算子理论和数值线性代数中都是一个重要对象，尤其令人感兴趣的是压缩的特征值及其在扰动下的稳定性。本文考虑从复 Grassmannian 上的 Haar 测度中抽取的子空间上的压缩。我们证明此类压缩的 $\varepsilon$-伪谱的期望面积以 $\text{poly}(n)\log^2(1/\varepsilon)\cdot\varepsilon^β$ 为界，其中根据对 $A$ 的某些温和假设，$β=6/5$、$4/3$ 或 $2$。在此过程中，我们得到（a）压缩的最小奇异值的尾部界，以及（b）随机非 Hermitian 二次型的非渐近小球估计，超越了现有方法所达到的界。
英文摘要：
The compression of a matrix $A\in\mathbb C^{n\times n}$ onto a subspace $V\subset\mathbb C^n$ is the matrix $Q^*AQ$ where the columns of $Q$ form an orthonormal basis for $V$. This is an important object in both operator theory and numerical linear algebra. Of particular interest are the eigenvalues of the compression and their stability under perturbations. This paper considers compressions onto subspaces sampled from the Haar measure on the complex Grassmannian. We show the expected area of the $\varepsilon$-pseudospectrum of such compressions is bounded by $\text{poly}(n)\log^2(1/\varepsilon)\cdot\varepsilon^β$, where $β=6/5,4/3$, or $2$ depending on some mild assumptions on $A$. Along the way, we obtain (a) tail bounds for the least singular value of compressions and (b) non-asymptotic small-ball estimates for random non-Hermitian quadratic forms surpassing bounds achieved by existing methods.
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