用归一化流构造近似传输映射
Constructive approximate transport maps with normalizing flows
AI总结：
本文通过构造分段常数控制来近似求解连续方程的可控性问题，利用归一化流将基密度传输到目标密度，并基于相对尾部衰减假设给出切换次数上界及可达空间刻画。
摘要：
我们研究连续方程的一个近似可控性问题及其在利用归一化流构造传输映射中的应用。具体而言，我们构造向量场 $x\mapsto w(a^\top x + b)_+$ 中的时间相关控制 $θ=(w, a, b)$，以将已知基密度 $ρ_{\mathrm{B}}$ 近似传输到目标密度 $ρ_*$。近似误差以相对熵度量，并且 $θ$ 被构造为分段常数，同时给出了切换次数的上界。我们的主要结果依赖于 $ρ_*$ 和 $ρ_{\mathrm{B}}$ 的相对尾部衰减假设，并为刻画连续方程在相对熵意义下的可达空间提供了线索。
英文摘要：
We study an approximate controllability problem for the continuity equation and its application to constructing transport maps with normalizing flows. Specifically, we construct time-dependent controls $θ=(w, a, b)$ in the vector field $x\mapsto w(a^\top x + b)_+$ to approximately transport a known base density $ρ_{\mathrm{B}}$ to a target density $ρ_*$. The approximation error is measured in relative entropy, and $θ$ are constructed piecewise constant, with bounds on the number of switches being provided. Our main result relies on an assumption on the relative tail decay of $ρ_*$ and $ρ_{\mathrm{B}}$, and provides hints on characterizing the reachable space of the continuity equation in relative entropy.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
