计数最小割集与 $p_c<1$
Counting minimal cutsets and $p_c<1$
AI总结：
本文证明了 Peierls 论证的逆命题，并解决两个猜想，表明对一般图，$p_c<1$ 等价于最小割集指数有界，且一致暂态图均满足 $p_c<1$。
摘要：
我们证明了关于一般图上渗流的两个结果。首先，我们建立了经典 Peierls 论证的逆命题：如果（均匀）渗流的临界参数满足 $p_c<1$，那么将给定顶点与无穷远分离的大小为 $n$ 的最小割集的数量以 $n$ 的指数形式有上界。这解决了 Babson 和 Benjamini 于 1999 年提出的猜想。其次，我们证明对于每个一致暂态图，都有 $p_c<1$。这解决了 Duminil-Copin、Goswami、Raoufi、Severo 和 Yadin 提出的一个问题，并为每个超线性增长的传递图提供了 $p_c<1$ 的新证明。
英文摘要：
We prove two results concerning percolation on general graphs. - We establish the converse of the classical Peierls argument: if the critical parameter for (uniform) percolation satisfies $p_c<1$, then the number of minimal cutsets of size $n$ separating a given vertex from infinity is bounded above exponentially in $n$. This resolves a conjecture of Babson and Benjamini from 1999. - We prove that $p_c<1$ for every uniformly transient graph. This solves a problem raised by Duminil-Copin, Goswami, Raoufi, Severo and Yadin, and provides a new proof that $p_c<1$ for every transitive graph of superlinear growth.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
