Damek--Ricci 空间上 Schrödinger 极大函数的映射性质
Mapping properties of the Schrödinger maximal function on Damek--Ricci spaces
AI总结：
本文研究了 Damek--Ricci 空间上 Schrödinger 极大函数的映射性质，完整刻画了其在测地球上的局部 $L^q$ 估计对，并证明了相关的全局弱型估计，结果与欧氏情形一致且具有尖锐性。
摘要：
对于 $f \in \mathscr{S}^2(\mathcal S)_{o}$，即 Damek--Ricci 空间 $\mathcal S$ 上径向 $L^2$-Schwartz 类函数的集合，我们考虑对应于 Laplace--Beltrami 算子 $Δ$ 且初始数据为 $f$ 的 Schrödinger 极大函数 \begin{equation*} S^* f(x):= \displaystyle\sup_{0<t<4/Q^2} \left|S_tf(x)\right|\\:\\:\\:\\:\\:\\:x\in\mathcal S\\:, \end{equation*}。我们首先完整刻画了满足估计 \begin{equation*} {\\|S^*f\\|}_{L^q\left(B_R\right)} \le C_R\\: {\\|f\\|}_{H^\alpha(\mathcal S)}\\:, \end{equation*} 的所有 $(q, \alpha) \in [1, \infty] \times [0,\infty)$ 对，该估计对所有 $f \in \mathscr{S}^2(\mathcal S)_{o}$ 在测地球 $B_R$ 上成立。我们的结果是尖锐的，且与欧氏情形一致。我们还证明了对所有 $f \in \mathscr{S}^2(\mathcal S)_{o}$，以下全局估计 \begin{equation*} {\\|S^*f\\|}_{L^{2,\infty}(\mathcal S)} \le C\\: {\\|f\\|}_{H^\alpha(\mathcal S)},\\:\\:\\:\\:\alpha>1/2, \end{equation*} 成立。
英文摘要：
For $f \in \mathscr{S}^2(\mathcal S)_{o}$, the collection of radial $L^2$-Schwartz class functions on Damek--Ricci spaces $\mathcal S$, we consider the Schrödinger maximal function, \begin{equation*} S^* f(x):= \displaystyle\sup_{0<t<4/Q^2} \left|S_tf(x)\right|\:,\:\:\:\:\:\:x\in\mathcal S\:, \end{equation*} corresponding to the Laplace--Beltrami operator $Δ$ with initial data $f$. We first obtain the complete description of the pairs $(q, α) \in [1, \infty] \times [0,\infty)$ for which the estimate \begin{equation*} {\|S^*f\|}_{L^q\left(B_R\right)} \le C_R\: {\|f\|}_{H^α(\mathcal S)}\:, \end{equation*} holds on geodesic balls $B_R$, for all $f \in \mathscr{S}^2(\mathcal S)_{o}$. Our results are sharp and agree with the Euclidean case. We also prove that for all $f \in \mathscr{S}^2(\mathcal S)_{o}$, the following global estimate \begin{equation*} {\|S^*f\|}_{L^{2,\infty}(\mathcal S)} \le C\: {\|f\|}_{H^α(\mathcal S)},\:\:\:\:α>1/2, \end{equation*} holds true.
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