Clifford-Bianchi 设置中的 Ford 球面
Ford Spheres in the Clifford-Bianchi Setting
AI总结：
本文在 Clifford-Bianchi 群背景下定义并研究了双曲空间中的 Ford 球面，证明了其整值性、内部不相交及相切性质，并探讨了与 Dirichlet 定理和 Farey 分数的联系。
摘要：
我们在双曲 $n$ 空间中定义了与 Clifford-Bianchi 群 $PSL_2(O)$ 相关的 Ford 球面 $\mathcal{P}$，其中 $O$ 是与正定、整值、本原二次型相关的有理 Clifford 代数中的序。对于 $\mathcal{H}^2$ 和 $\mathcal{H}^3$，这些球面对应于经典的 Ford 圆和 Ford 球面（它们是经典 Apollonian 填充的非最大子集）。我们证明了 Ford 球面是整值的，具有不相交的内部，并且当它们相交时是相切的。如果我们假设 $O$ 是 Clifford-Euclidean 的，则 $\mathcal{P}$ 也是连通的。我们还给出了与 Dirichlet 定理和 Farey 分数的联系。在讨论部分，我们提出了与文献中现有填充相关的一些问题。
英文摘要：
We define Ford Spheres $\mathcal{P}$ in hyperbolic $n$-space associated to Clifford-Bianchi groups $PSL_2(O)$ for $O$ orders in rational Clifford algebras associated to positive definite, integral, primitive quadratic forms. For $\mathcal{H}^2$ and $\mathcal{H}^3$ these spheres correspond to the classical Ford circles and Ford spheres (these are non-maximal subsets of classical Apollonian packings). We prove the Ford spheres are integral, have disjoint interiors, and intersect tangentially when they do intersect. If we assume that $O$ is Clifford-Euclidean then $\mathcal{P}$ is also connected. We also give connections to Dirichlet's Theorem and Farey fractions. In a discussion section, we pose some questions related to existing packings in the literature.
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