Variable Time Step Method of DAHLQUIST, LINIGER and NEVANLINNA (DLN) for a Corrected Smagorinsky Model
本文应用DLN二阶G稳定时间步进方法于修正Smagorinsky模型，证明任意时间步长下长期无条件稳定且二阶收敛，并通过数值测试验证收敛速率及自适应算法控制耗散、显现反向散射。
2023-09-05 cs.NA math.NA
High-order nonuniform time-stepping and MBP-preserving linear schemes for the time-fractional Allen-Cahn equation
Ocean University of China（中国海洋大学）；School of Mathematical Sciences, Ocean University of China（中国海洋大学数学科学学院）；Laboratory of Marine Mathematics, Ocean University of China（中国海洋大学海洋数学实验室）
本文提出了一类非均匀时间步长、高阶线性稳定方案，用于保持时间分数阶Allen-Cahn方程的离散能量稳定性和最大界原理。通过新的预测策略获得二阶且保持最大界原理的预测解，并利用辅助功能设计稳定项以保持最大界原理。
2026-04-20 cs.NA math.NA
The variable-step L1 scheme preserving a compatible energy law for time-fractional Allen-Cahn equation
在这项工作中，我们重新审视的自适应L1时间步进计划解决时间分数Allen-Cahn方程的Caputo的形式。利用最近的离散分析工具，即，L1隐格式被证明在任意非均匀时间网格上保持变分能量耗散律，离散正交卷积核和离散互补卷积核。然后利用离散嵌入技术和分数阶Grönwall不等式，建立了非均匀时间网格上的$L^2$范数误差估计.根据系统的动力学特性，提出了一种自适应的时间步长策略，以捕捉系统的多尺度行为，提高计算性能。
2021-02-15 cs.NA math.NA
Highly efficient and energy dissipative schemes for the time fractional Allen-Cahn equation
本文提出并分析了时间分数阶Allen-Cahn方程的时间步方法。该方法的关键特性是其对一般网格的无条件稳定性，包括常用于此类方程的分级网格。通过建立一个离散的非局部自由能耗散律，证明了该问题的无条件稳定性，这对连续问题也成立。分析中使用的主要思想是将时间分数阶导数分为两部分：局部部分和历史部分，这是由众所周知的L1，L1-CN和$L1^{+}$ -CN格式离散。在此基础上，采用扩展的辅助变量法处理非线性项和历史项。本文的主要贡献是：第一，发现时间分数阶Allen-Chan方程是一个与非局部自由能有关的耗散系统。其次，我们构造了在离散水平上满足相同耗散律的有效时间推进格式。特别是，我们证明了所提出的计划是无条件稳定的相当一般的网格。最后，通过一系列数值实验验证了该方法的有效性.
2021-04-25 cs.NA math.NA
Time-Fractional Allen-Cahn Equations: Analysis and Numerical Methods
本文考虑时间分数阶Allen-Cahn方程，其中传统的一阶时间导数被一阶Caputo分数阶导数$α\in(0,1)$所代替.首先，利用分数阶发展方程的最大$L^p$正则性和分数阶Grönwall不等式，系统地分析了分数阶发展方程的适定性和（有限）光滑性.我们还显示了最大值原理一样，他们的传统本地的时间对应。准确地说，时间分数方程保持了这样的性质，即当初始数据相同时，解仅在双阱势的阱之间取值。其次，在对分数阶导数进行向后欧拉卷积积分离散后，我们发展了几种无条件可解且稳定的时间推进格式，即，凸分裂格式、加权凸分裂格式和线性加权稳定格式。同时，我们研究了这两种加权格式的离散能量耗散特性（加权平均意义下），这对于梯度流模式是很重要的。最后，利用离散形式的分数阶Grönwall不等式和极大$\ell^p$正则性，证明了在不对解作任何额外的正则性假设的情况下，这些时间步格式的收敛速度是$O(τ^α)$.我们还提出了广泛的数值结果来支持我们的理论研究结果，并提供新的见解的时间分数Allen-Cahn动力学。
2019-06-15 cs.NA math.NA
A linear unconditionally structure-preserving L1 scheme for the time-fractional Allen-Cahn equation
针对 TFAC 方程，提出可无条件保持离散 MBP 与能量耗散的一阶及高阶线性 L1 格式，结合 SOE 快速实现与自适应步进，并证明尖锐误差估计。
2025-10-18 cs.NA math.NA
Asymptotic Behaviour of Time Stepping Methods for Phase Field Models
在空间连续、半离散的情况下，研究了Allen Cahn和Cahn Hilliard方程亚稳态动力学的自适应时间步方法.我们分析了一些一阶和二阶方法的性能，正式预测的步长，以满足指定的局部截断误差$σ$在小序参数$ε\rightarrow 0$的限制，在亚稳态动态。正式的预测下的稳定性假设，包括保存的渐近结构的扩散接口，一个概念，我们称之为轮廓保真度。在这种情况下，可以对时间步进方法的相对行为做出明确的陈述。一些方法，包括所有所谓的能量稳定方法，但也有一些全隐式方法，需要渐近更多的时间步长比别人。我们观察到，在文献中流行的一些可证明的能量稳定的方法执行比一些更标准的计划。我们进一步表明，当向后欧拉应用于亚稳态Allen Cahn动力学，这些离散化的能量衰减和轮廓保真度的属性被保存为更大的时间步长比以前的分析将建议。对于一般的界面，结果是渐近的，对于径向界面，结果是严格的。分析和计算表明，对于大多数反应项，由于轮廓保真度的损失，Eyre型时间步进执行渐近差。
2020-05-28 cs.NA math.NA
An efficient proximal-based approach for solving nonlocal Allen-Cahn equations
Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学）
本文提出一种结合傅里叶配置法与近端算子的高效时空离散化方法，用于求解含非光滑障碍势的非局部Allen-Cahn方程，显著提升计算效率并保证能量稳定性。
2026-09-10 cs.NA math.NA
New efficient time-stepping schemes for the anisotropic phase-field dendritic crystal growth model
本文提出并分析了各向异性相场枝晶生长模型的一阶和二阶时间步长格式。所提出的方案是基于一个辅助变量方法的Allen-Cahn方程和Allen-Cahn方程和温度方程的耦合项的微妙的处理。前者的思想是引入合适的辅助变量，以便于构造一大类梯度流的高阶稳定格式。我们提出了一种新的技术来处理晶体生长模型中涉及的耦合项，并引入合适的稳定项，以产生完全解耦的计划，满足离散能量法，而不影响收敛阶。一个微妙的实现表明，所提出的计划可以实现一个非常有效的方式。也就是说，它只需要在每个时间步求解四个线性椭圆型方程和一个简单的代数方程。与现有的方案进行了详细的比较，并强调了新方案的优点。据我们所知，这是第一个二阶格式，是完全解耦的，线性的，无条件稳定的枝晶生长模型与可变迁移率参数。
2021-09-03 cs.NA math.NA
Energy Stable Discontinuous Galerkin Finite Element Method for the Allen-Cahn Equation
Middle East Technical University（中东技术大学）；Atılım University（阿提尔姆大学）
本文提出一种基于对称内罚不连续Galerkin方法的能量稳定方案，用于求解具有常数和退化迁移率及多项式和对数能量函数的Allen-Cahn方程，验证了该方法在时间离散化中的能量递减性质。
2015-05-16 cs.NA math.NA
An energy stable and maximum bound preserving scheme with variable time steps for time fractional Allen-Cahn equation
本文对时间分数阶Allen-Cahn方程提出了一种变步长Crank-Nicolson型格式。所提出的计划被证明是无条件稳定的（在变分能量意义下），并保持最大界。有趣的是，当分数阶$α\rightarrow 1.$时，本文得到的离散能量稳定性结果可以恢复经典的能量耗散律，即我们的格式可以在$α\rightarrow 1$极限下渐近保持能量耗散律.这似乎是第一个工作的可变时间步长计划，可以保持能量稳定性和最大限度的原则。我们的Crank-Nicolson方案是建立在与Riemann-Liouville导数相关的重新表述的问题上的。作为一个副产品，我们建立了一个可逆的转换之间的L1型公式的Riemann-Liouville导数和一个新的L1型公式的Caputo导数，借助一类离散正交卷积核。这是第一次在两个离散分数阶导数之间建立这样的\textit{discrete}变换。最后，我们提出了几个数值例子与自适应时间步进策略，以显示所提出的计划的有效性。
2020-12-19 cs.NA math.NA
Breaking quadrature exactness: A spectral method for the Allen--Cahn equation on spheres
本文提出一种球面上 Allen-Cahn 方程的谱方法，用 Marcinkiewicz-Zygmund 求积系统的受限等距关系替代传统求积精确性条件，放宽求积点选择限制并实现时间步长与扩散系数解耦，同时建立能量稳定性和几乎锐利最大值原理。
2025-08-18 cs.NA math.NA
Numerical approximations of the Cahn-Hilliard and Allen-Cahn Equations with general nonlinear potential using the Invariant Energy Quadratization approach
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Yantai University（烟台大学）
本文基于不变能量二次化方法，对Cahn-Hilliard和Allen-Cahn方程的两种一阶半离散时间步进方案进行稳定性与误差分析，针对一般非线性本体势能，推导出最优误差估计，并证明了数值方案的适定性、无条件能量稳定性和最优误差估计。
2017-12-07 cs.NA math.NA
Maximum bound preservation of exponential integrators for Allen-Cahn equations
针对Allen-Cahn方程，本文开发并分析了基于指数积分器迭代框架结合特定数值求积规则的任意高阶最大边界保持时间步长格式，证明其无条件保界且具任意高阶时间精度，通过误差分析与数值实验验证了有效性。
2025-04-14 cs.NA math.NA
Generalized SAV-exponential integrator schemes for Allen-Cahn type gradient flows
能量耗散律和最大边界原理是著名的Allen-Cahn方程的两个重要物理特征。虽然一些常用的一阶时间推进格式已被证明能无条件地保持方程的能量耗散律和MBP，但现有的二阶甚至更高阶格式仍需要对时间步长进行限制，以便同时保持能量耗散律和MBP。本文针对一类Allen-Cahn型梯度流问题，发展并分析了一阶和二阶线性数值格式。我们的计划结合了广义标量辅助变量（SAV）的方法和指数时间积分器与稳定项，而标准的中心差分模板用于离散的空间微分算子。我们不仅证明了它们在离散情况下无条件地保持能量耗散律和MBP，而且在固定的空间网格下得到了它们的最优时间误差估计.数值实验也证明了所提出的方案的性质和性能。
2022-03-09 cs.NA math.NA
An Energy-Stable Discontinuous Galerkin Method for the Compressible Navier--Stokes--Allen--Cahn System
针对可压缩两相流的 NSAC 系统，提出一种质量守恒且能量稳定的全离散 dG 方法，空间高阶、时间二阶，数值实验验证了其有效性。
2025-10-27 cs.NA math.NA
Asymptotically compatible energy and dissipation law of the nonuniform L2-$1_σ$ scheme for time fractional Allen-Cahn model
针对时间分数阶 Allen-Cahn 模型，本文在弱步长比约束下建立了变步长 L2-$1_σ$ 格式的渐近相容能量，通过局部-非局部分裂技术构造离散能量，首次实现二阶非均匀格式同时保持最大值界原理与能量耗散律。
2023-11-22 cs.NA math.NA
Parallel energy-stable solver for a coupled Allen-Cahn and Cahn-Hilliard system
本文研究了与对数型自由能泛函相关的Allen-Cahn/Cahn-Hilliard耦合系统的数值方法。为了解决由特殊的自由能泛函所带来的挑战，我们提出了一种以多项式形式逼近离散变分导数的方法，使得相应的有限差分格式是无条件能量稳定的，并且能量耗散律保持不变.为了进一步提高算法的性能，采用了一种改进的自适应时间步长策略，使得时间步长可以根据问题的动态演化灵活控制。为了在并行计算机上实现高性能，我们引入了一个基于区域分解的并行Newton-Krylov-Schwarz方法来求解每个时间步长的离散化所构造的非线性代数系统。数值实验表明，该算法在时间和空间上均具有二阶精度，在大时间步长下能量稳定，在神威太湖之光超级计算机上可扩展到上万个处理器核.
2020-07-14 cs.NA math.NA
Arbitrarily High-order Maximum Bound Preserving Schemes with Cut-off Postprocessing for Allen-Cahn Equations
本文发展并分析了一类近似求解Allen-Cahn方程的最大保界格式。在时间上采用$k$阶单步格式（其中非线性项通过多步外推线性化），在空间上采用分块$r$阶多项式和Gauss-Lobatto积分的集中质量有限元法。在每个时间层，提出了截断后处理，以消除额外的值违反最大限度原则的有限元节点。结果表明，数值解满足最大值界原理（在所有节点），并从理论上证明了某类格式的最优误差界$O(τ^k+h^{r+1})$。这些考虑中的时间步进计划包括代数稳定的配置型方法，它可以是任意高阶的空间和时间。此外，结合截断策略和标量辅助值（SAV）技术，我们开发了一类能量稳定和最大保界格式，这是任意高阶的时间。数值结果表明了该方法的准确性。
2021-02-26 cs.NA math.NA
Energy stable discretization of Allen-Cahn type problems modeling the motion of phase boundaries
TU Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文研究了Allen-Cahn类型问题的数值近似，通过变分原理的守合伽辽金逼近实现空间离散，证明了半离散化的well-posed性和能量衰减，提出隐式时间步进方案并验证了全离散方案的能量衰减，通过数值测试验证了界面速度渐近展开。
2017-03-08 cs.NA math.NA
Maximum bound principle and original energy dissipation of arbitrarily high-order rescaled exponential time differencing Runge-Kutta schemes for Allen--Cahn equations
本文针对 Allen–Cahn 方程提出任意高阶 ETDRK 格式，结合重标定后处理保证极大值原理，并在温和步长约束下保持原始能量耗散，同时给出最优误差估计。
2024-04-30 cs.NA math.NA
Efficient Shallow Ritz Method: 1D Semi-Linear Diffusion-Reaction and Allen-Cahn Equations
Great Bay University（大湾区大学）；Purdue University（普渡大学）
本文将高效浅里兹方法扩展至非线性扩散-反应方程，开发约化块牛顿方法与时间步进神经网络方法求解Allen-Cahn方程，其性能优于有限元方法。
2026-10-14 cs.NA math.NA
Finite Element Methods for the Stochastic Allen-Cahn Equation with Gradient-type Multiplicative Noises
The University of Tennessee（田纳西大学）
本文提出两种基于不同时间步策略的有限元方法，用于求解带有梯度型乘性噪声的随机Allen-Cahn方程，并证明了方法的强收敛性及收敛速率。
2015-05-14 cs.NA math.NA
Divergence-free Preserving Mix Finite Element Methods for Fourth-order Active Fluid Model
针对二维非线性四阶主动流体方程，提出保无散度混合有限元方法，结合变步长DLN积分器构造全离散格式并给出理论证明，设计自适应步长策略提升效率，数值实验验证了其准确性与高效性。
2025-07-28 cs.NA math.NA
A Divergence-free Preserving Mixed Finite Element Method for Thermally Driven Active Fluid Model
本文针对热驱动活性流体四阶方程提出无散度保持的混合有限元方法，通过引入辅助变量降低正则性要求，并结合DLN时间积分器实现二阶精度与能量稳定性，数值实验验证了其有效性。
2025-09-23 cs.NA math.NA
Convex-concave splitting for the Allen-Cahn equation leads to $\varepsilon^2$-slow movement of interfaces
本文分析 Allen-Cahn 方程凸-凹分裂格式，发现其有效时间步长与 $\varepsilon^2$ 成正比，导致界面缓慢移动，并建立了与阈值化平均曲率流的联系。
2025-06-23 cs.NA math.AP math.NA
Analysis of interior penalty discontinuous Galerkin methods for the Allen-Cahn equation and the mean curvature flow
The University of Tennessee（田纳西大学）
本文提出并分析了两种完全离散的内部罚不连续Galerkin方法用于Allen-Cahn方程，旨在推导仅依赖于扰动参数ε的低次多项式阶的误差界，而非指数阶，并用于证明零水平集的收敛性及收敛率。
2014-05-09 cs.NA math.NA
A Discrete-Time Random Feature Method for Nonlinear Evolution Equations with Implicit-Explicit Runge--Kutta Time Stepping
本文提出一种离散时间随机特征方法，用于求解非线性时间依赖偏微分方程，采用隐式-显式Runge-Kutta方案，通过将算子分为线性和非线性部分，避免非线性最小二乘求解，并给出全局误差估计。
2026-04-28 cs.NA math.NA
Parallel-in-Time Solution of Allen-Cahn Equations by Integrating Operator Learning into the Parareal Method
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Oak Ridge National Laboratory（橡树岭国家实验室）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
本文提出将运算学习整合到Parareal方法中，用于高效求解Allen-Cahn方程，通过CNNs学习时间步进运算符，实现高精度和加速计算。
2025-11-24 cs.NA math.NA
Optimal error estimates of Galerkin finite element methods for stochastic Allen-Cahn equation with additive noise
针对空间维上加性噪声驱动的随机Allen-Cahn方程，分析了有限元半离散和时空全离散的强逼近误差$d \leq 3$ .将标准有限元法与向后欧拉时间推进格式相结合，实现了全离散。与全局Lipschitz设置不同，由于基础模型中存在立方非线性，误差分析变得相当具有挑战性和要求。通过引入两个辅助逼近过程，我们提出了一个适当的分解所考虑的误差项，并引入一种新的方法的误差分析，成功地恢复数值格式的收敛速度。该方法是原始的，不依赖于高阶空间的正则性的近似过程。结果表明，在噪声过程的空间相关性条件下，全离散格式具有空间$ O(h^γ ) $阶和时间$ O( τ^{ \fracγ{2} } )$阶的收敛速度，其特征为$ \|A^{\frac{γ-1}2}Q^{\frac12}\|_{\mathcal{L}_2}<\infty, \, γ\in[\frac d3,2] $，$ d\in\{1,2,3\}$ .特别地，当用$ γ= 2 $满足上述条件时，即使在多维空间中，也可以达到$O(h^2 +τ)$阶的经典收敛速率。数值例子证实了以前的研究结果。
2020-08-02 cs.NA math.NA math.PR
Discrete gradient structure of a second-order variable-step method for nonlinear integro-differential models
本文为分数阶积分与导数的二阶变步长近似建立离散梯度结构，并证明变步长 Crank-Nicolson 方法在相关模型中满足能量耗散定律且渐近相容，为非线性积分微分模型的长时间稳定模拟提供了有效方法。
2023-01-29 cs.NA math.NA
Strong convergence rates of an explicit scheme for stochastic Cahn--Hilliard equation with additive noise
本文提出一种结合谱Galerkin与驯化指数Euler的显式全离散格式，用于带加性噪声的随机Cahn--Hilliard方程，证明其强收敛速率，并通过数值实验验证，为首个此类显式格式结果。
2023-08-30 cs.NA math.NA math.PR
Variational approximation for a non-isothermal coupled phase-field system: Structure-preservation & Nonlinear stability
本文针对与热传递方程耦合且具有非对角迁移率矩阵的Cahn-Hilliard-Allen-Cahn相场模型，提出了一种结构保持的变分逼近方法，并利用相对熵方法证明了其半离散与全离散格式的非线性稳定性，数值实验验证了理论结果。
2024-07-31 cs.NA math.AP math.NA
Implicit integration of nonlinear evolution equations on tensor manifolds
显式步长截断张量方法最近被证明是成功的集成高维偏微分方程（PDE）的初值问题。然而，非线性和刚度的组合可能会引入时间步长限制，这可能使显式积分计算不可行。为了克服这个问题，我们发展了一类新的隐式秩自适应算法的时间积分的非线性发展方程张量流形。这些算法是基于执行一个时间步长与传统的时间步进计划，其次是一个隐式的不动点迭代步骤，涉及一个秩自适应截断操作到张量流形。隐式步骤截断方法是直接实现的，因为它们只依赖于张量之间的算术运算，这可以通过高效和可扩展的并行算法来执行。数值应用证明隐式阶梯截断张量积分的有效性，并讨论了Allen-Cahn方程，Fokker-Planck方程和非线性薛定谔方程。
2023-03-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
High-Order Variable-Scaled Energetic Variational Neural Networks for Phase-Field Gradient Flows
School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）；Department of Mathematics, University of Alabama（阿拉巴马大学数学系）
本文提出高阶变尺度能量变分神经网络（VS-EVNN）方法，通过坐标变换归一化梯度系数，结合多阶段变分外推和自适应时间步进，在Allen-Cahn和Cahn-Hilliard流上实现比基线更低的误差和更高精度。
2026-09-23 cs.NA math.NA
