Riemannian Neural Optimal Transport
Imperial College London, London, UK（伦敦帝国理工学院）；University Of Copenhagen, Copenhagen, Denmark（哥本哈根大学）；KTH Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden（瑞典皇家理工学院）
本文提出黎曼神经OT方法，通过连续神经网络参数化在黎曼流形上避免离散化，实现亚指数复杂度的最优传输近似，并在实验中展示了更高的可扩展性和性能。
2026-02-03 cs.LG math.OC stat.ML
Riemannian Neural Hamiltonian Flows: From Interpretable Potentials to Exact Surrogate Sampling
CEA, DAM, DIF（法国原子能委员会）
本文提出黎曼神经哈密顿流，结合流形固定动能、学习势与测地积分器，实现可解释的生成建模，并在多种空间验证其性能与可解释性。
2026-11-03 cs.LG
Coupling Matrix Manifolds and Their Applications in Optimal Transport
The University of Sydney（悉尼大学）；University of Reading（雷丁大学）
最佳运输（OT）是测量两个定义的概率分布之间距离的强大工具。在本文中，我们开发了一个新的流形命名为耦合矩阵流形（CMM），其中CMM上的每一个点可以被视为运输计划的OT问题。我们首先探讨了CMM的黎曼几何与Fisher信息表示的度量。CMM的这些几何特征为发展数值黎曼优化算法（如黎曼梯度下降和黎曼信赖域算法）铺平了道路，形成了适用于所有类型OT问题的统一优化方法。所提出的方法，然后应用到解决以前的文献研究的OT问题。数值实验结果表明，基于本文方法的优化算法与经典算法（如Sinkhorn算法）相当，而在不考虑几何信息的情况下，其性能优于其他最先进的算法，特别是在非熵最优输运的情况下.
2019-11-24 cs.LG stat.ML
Light Entropic Optimal Transport on Riemannian Manifolds
Applied AI Institute（应用人工智能研究所）
提出ManifoldLightOT，一种在常见黎曼流形上利用核形式构建熵最优传输耦合的轻量方法，通过几何特定吉布斯核实现闭式归一化与直接采样，并在实验中优于现有流形OT方法。
2026-10-05 cs.LG
A Riemannian Approach to Low-Rank Optimal Transport
Centre for Machine Intelligence and Data Science, IIT Bombay（印度理工学院孟买分校机器智能与数据科学中心）；Microsoft India（微软印度）
提出黎曼几何框架用于低秩最优传输，通过将平衡与不平衡秩r正因子耦合建模为光滑子流形，并采用Fisher-Rao乘积度量，实现高效的一阶和二阶求解器，在收敛速度和性能上超越现有方法。
2026-06-23 cs.LG math.OC
Riemannian Convex Potential Maps
University College London（伦敦大学学院）；Facebook AI Research（脸书人工智能研究院）；Weizmann Institute of Science（魏茨曼科学研究所）
对黎曼流形上的分布建模是理解非欧几里德数据的关键组成部分，例如，物理学和地质学。在这一领域的萌芽方法受到代表性和计算权衡的限制。我们提出并研究了一类流，使用凸势从黎曼最优运输。这些都是通用的，可以在任何紧凑的黎曼流形上建模分布，而不需要将流形的领域知识集成到架构中。我们证明，这些流量可以模拟标准分布的领域，环面，合成和地质数据。我们的源代码可以在http://github.com/facebookresearch/rcpm上免费获得
2021-06-18 cs.LG stat.ML
Symmetric Positive Semi-definite Riemannian Geometry with Application to Domain Adaptation
Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文给出了对称半正定（SPSD）矩阵的黎曼几何的新结果。首先，基于现有的近似的测地线路径，我们介绍了对数和指数映射的近似。其次，我们提出了一个封闭形式的表达并行传输（PT）。第三，我们推导出一组SPSD矩阵的规范表示。基于这些结果，我们提出了一个算法的领域自适应（DA），并证明其性能在两个应用：高光谱图像融合和运动识别。
2020-08-04 cs.LG stat.ML
ReSync: Riemannian Subgradient-based Robust Rotation Synchronization
Shanghai University of Finance and Economics（上海财经大学）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；The Chinese University of Hong Kong（香港中文大学）
本文提出基于黎曼次梯度的 ReSync 算法，通过旋转群上的最小非平方模型直接恢复旋转，并证明其在随机损坏下可线性收敛至真实旋转。
2023-12-06 cs.LG math.OC
Domain Adaptation with Optimal Transport on the Manifold of SPD matrices
Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
在本文中，我们解决的问题，领域自适应（DA）使用最佳运输（OT）黎曼流形。我们模型的两个域之间的差异，通过一个同构和使用极分解定理，声称OT确实是最佳的DA在一个定义明确的意义上，体积保持地图。然后，我们专注于流形的对称和正定（SPD）矩阵，其结构提供了一个有用的背景下，在最近的应用。证明了该流形上的极分解定理。由于加权黎曼平均的唯一性，并利用现有的正则化OT算法，我们制定了一个简单的算法，将源域映射到目标域。我们在两个脑机接口（BCI）数据集上测试了我们的算法，并观察了最先进的性能。
2020-07-27 cs.LG stat.ML
Manifold optimization for non-linear optimal transport problems
Microsoft（微软）；Vayve Technologies（维威科技）；Waseda University（早稻田大学）
最优运输（OT）最近在机器学习中引起了广泛的兴趣。它允许定义新的概率测度之间的距离，这在几个应用程序中已经显示出了希望。在这项工作中，我们讨论了如何计算方法一般的非线性OT问题的框架内的黎曼流形优化。其基础是双随机矩阵流形（及其推广）。尽管流形几何不是新的，但令人惊讶的是，它对解决一般非线性OT问题的有用性并不受欢迎。为此，我们专门讨论优化相关的成分，允许利用几何的搜索空间光滑黎曼流形上的OT问题建模。我们还讨论了扩展，我们重用开发的优化成分。我们提供基于流形优化的最优运输（MOT）存储库，其中包含在Python和Matlab中解决OT问题时有用的代码。代码可在\url{https://github.com/SatyadevNtv/MOT}上获得。
2021-10-08 cs.LG math.OC
Total Variation Rates for Riemannian Flow Matching
Rice University（莱斯大学）；University of California, Davis（加州大学戴维斯分校）
该研究提出了Riemannian流匹配的总变分收敛分析，通过非渐近的理论框架，分离了数值离散化误差与学习误差，实现了在流形上的显式多项式迭代复杂度。
2026-02-05 cs.AI cs.LG math.ST
Constant Metric Scaling in Riemannian Computation
Baruch College（巴彻学院）
本文探讨了Riemann流形上常数度量缩放的影响，区分了变化和不变的几何量，并讨论了其在优化中的应用。
2026-01-28 cs.LG stat.CO
Riemannian batch normalization for SPD neural networks
Thales Air Systems（泰雷兹空中系统公司）；Sorbonne Université（索邦大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）
协方差矩阵由于其能够捕捉数据中有趣的结构而在机器学习应用中引起了人们的关注。主要的挑战是需要考虑它们所属的对称正定（SPD）矩阵的黎曼流形的特殊几何。在深度网络的背景下，最近已经提出了这些矩阵的几种架构。在我们的文章中，我们介绍了一个黎曼批量归一化（batchnorm）算法，它推广了欧几里德网中使用的算法。这个新的层利用流形上的几何运算，特别是黎曼重心，并行传输和非线性结构矩阵变换。我们推导出一个新的流形约束梯度下降算法工作在SPD矩阵的空间，允许学习batchnorm层。我们验证了我们提出的方法与实验在三个不同的上下文中不同的数据类型：从雷达观测的无人机识别数据集，并从视频和动作捕捉数据的情感和动作识别数据集。实验结果表明，黎曼批范数系统地给出了更好的分类性能相比，领先的方法和一个显着的鲁棒性缺乏数据。
2019-09-12 cs.LG stat.ML
Staying the course: Locating equilibria of dynamical systems on Riemannian manifolds defined by point-clouds
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）；Cornell University（康奈尔大学）
介绍了一种在黎曼流形上连续定位动力系统平衡点（稳态）的方法。流形不需要由先验已知的图集或光滑映射的零点来表征。相反，它们可以由点云定义，并根据需要通过迭代过程进行采样。如果流形是一个欧几里得空间，我们的方法如下isoclines，曲线沿其方向的向量场$X$是恒定的。对于一般矢量场$X$，等倾线是光滑曲线，并且每个平衡点都位于等倾线上。我们通过使用平行运输将等倾线的定义推广到黎曼流形：广义等倾线是$X$的方向彼此平行运输的曲线。与欧几里得情况一样，一般矢量场的广义等倾线$X$是连接$X$平衡点的光滑曲线。当流形未知时，我们的算法可以看作是牛顿轨迹法在流形上的推广。这项工作的动机是计算统计力学，特别是高维（随机）微分方程模型的分子系统的动力学。通常，这些动力学集中在低维流形附近，并且在亚稳态平衡之间有过渡（具有单个不稳定方向的鞍点）。我们采用迭代采样数据和等倾线来定位这些鞍点。将黑盒采样方案（例如，马尔可夫链蒙特卡罗）与流形学习技术（扩散映射的情况下，在这里），我们表明，我们的方法可靠地定位平衡的$X$。
2022-11-12 cs.LG cs.NA math.DG
