同构自动机网络的交互图 II：通用动力学
Interaction graphs of isomorphic automata networks II: universal dynamics
AI总结：
本文研究同构自动机网络交互图集合的通用性，证明存在包含除空图外所有有向图的通用自动机网络，并刻画了其字母表大小的必要条件，同时证明 $q\geq 3$ 时存在几乎通用函数。
摘要：
一个在大小为 $q$ 的有限字母表 $Q$ 上具有 $n$ 个分量的自动机网络，是由函数 $f:Q^n\to Q^n$ 的连续迭代所描述的离散动力系统。在大多数应用中，主要参数是 $f$ 的交互图：以 $[n]$ 为顶点集的有向图，其中如果 $f_i$ 依赖于输入 $j$，则包含一条从 $j$ 到 $i$ 的弧。关于与 $f$ 同构的自动机网络的交互图集合 $\mathbb{G}(f)$，我们能说些什么？这个简单的问题似乎从未被研究过。在之前的一篇论文中，我们证明了具有 $n^2$ 条弧的完全有向图 $K_n$ 是通用的，即只要 $f$ 既不是常值函数也不是恒等函数（且 $n\geq 5$），就有 $K_n\in \mathbb{G}(f)$。在本文中，我们采取相反的方向，证明存在通用自动机网络 $f$，使得 $\mathbb{G}(f)$ 包含 $[n]$ 上除空图之外的所有有向图。实际上，我们证明了 $\mathbb{G}(f)$ 中仅出现三个特定有向图就蕴含 $f$ 的通用性，并且我们证明这迫使字母表大小 $q$ 至少具有 $n$ 个素因子（按重数计）。然而，我们证明对于任意固定的 $q\geq 3$，存在几乎通用的函数，即函数 $f:Q^n\to Q^n$ 使得随机有向图属于 $\mathbb{G}(f)$ 的概率在 $n\to\infty$ 时趋于 $1$。我们不知道这在二元情形 $q=2$ 下是否成立，只提供了部分结果。
英文摘要：
An automata network with $n$ components over a finite alphabet $Q$ of size $q$ is a discrete dynamical system described by the successive iterations of a function $f:Q^n\to Q^n$. In most applications, the main parameter is the interaction graph of $f$: the digraph with vertex set $[n]$ that contains an arc from $j$ to $i$ if $f_i$ depends on input $j$. What can be said on the set $\mathbb{G}(f)$ of the interaction graphs of the automata networks isomorphic to $f$? It seems that this simple question has never been studied. In a previous paper, we prove that the complete digraph $K_n$, with $n^2$ arcs, is universal in that $K_n\in \mathbb{G}(f)$ whenever $f$ is not constant nor the identity (and $n\geq 5$). In this paper, taking the opposite direction, we prove that there exist universal automata networks $f$, in that $\mathbb{G}(f)$ contains all the digraphs on $[n]$, excepted the empty one. Actually, we prove that the presence of only three specific digraphs in $\mathbb{G}(f)$ implies the universality of $f$, and we prove that this forces the alphabet size $q$ to have at least $n$ prime factors (with multiplicity). However, we prove that for any fixed $q\geq 3$, there exists almost universal functions, that is, functions $f:Q^n\to Q^n$ such that the probability that a random digraph belongs to $\mathbb{G}(f)$ tends to $1$ as $n\to\infty$. We do not know if this holds in the binary case $q=2$, providing only partial results.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
