隐式 Euler 方法的微分反演：符号分析
Differential Inversion of the Implicit Euler Method: Symbolic Analysis
AI总结：
针对隐式 Euler 离散映射的逆 Jacobian-向量乘积，本文给出符号微分反演方法，将复杂度由 $\mathcal{O}(mn^3)$ 或朴素的 $\mathcal{O}(mn^4)$ 降至 $\mathcal{O}(mn^2)$，并有运行时间验证和参考实现。
摘要：
隐式 Euler 方法用于积分常微分方程组 $$\frac{dx}{dt}=G(t,x(t))$$，其中右端项 $G:{\mathbb R}\times{\mathbb R}^n\rightarrow{\mathbb R}^n$ 可微；该方法从初始状态 $x=x(0)\in{\mathbb R}^n$ 出发，到达目标时间 $t\in{\mathbb R}$，并通过对时间区间 $[0,t]$ 进行等间距离散化得到 $m>0$ 个时间步，从而将解表示为 $x(t)=E(t,m,x)$。我们提出一种方法，用于高效计算其逆 Jacobian 矩阵 $$(E')^{-1}\equiv\left(\frac{dE}{dx}\right)^{-1}\in{\mathbb R}^{n\times n}$$ 与给定向量 $v\in{\mathbb R}^n$ 的乘积。我们证明，对于给定的 $v\in{\mathbb R}^n$，微分逆 $(E')^{-1}\cdot v$ 的计算代价为 $\mathcal{O}(m\cdot n^2)$，而标准方法的代价为 $\mathcal{O}(m\cdot n^3)$，朴素方法甚至会达到 $\mathcal{O}(m\cdot n^4)$。理论结果得到了实际运行时间的支持。本文还提供了一个参考实现。
英文摘要：
The implicit Euler method integrates systems of ordinary differential equations $$\frac{d x}{d t}=G(t,x(t))$$ with differentiable right-hand side $G : {\mathbb R} \times {\mathbb R}^n \rightarrow {\mathbb R}^n$ from an initial state $x=x(0) \in {\mathbb R}^n$ to a target time $t \in {\mathbb R}$ as $x(t)=E(t,m,x)$ using an equidistant discretization of the time interval $[0,t]$ yielding $m>0$ time steps. We present a method for efficiently computing the product of its inverse Jacobian $$(E')^{-1} \equiv \left (\frac{d E}{d x}\right )^{-1} \in {\mathbb R}^{n \times n} $$ with a given vector $v \in {\mathbb R}^n.$ We show that the differential inverse $(E')^{-1} \cdot v$ can be evaluated for given $v \in {\mathbb R}^n$ with a computational cost of $\mathcal{O}(m \cdot n^2)$ as opposed to the standard $\mathcal{O}(m \cdot n^3)$ or, naively, even $\mathcal{O}(m \cdot n^4).$ The theoretical results are supported by actual run times. A reference implementation is provided.
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