算术动力学中 Zsigmondy 集大小的定量估计

原因子、动态Zsigmondy集和Vojta猜想

Primitive Divisors, Dynamical Zsigmondy Sets, and Vojta's Conjecture

序列（a_1，a_2，a_3，.）的元素a_n的本原素除子。是一个能整除a_n的素数P，但对所有m < n不能整除a_m。序列的Zsigmondy集Z是n的集合，使得a_n没有本原素除子。令f：X --> X是一个簇的自态射，D是X上的一个有效因子，P是X上的一个点，它们都定义在Q的代数闭包上.我们考虑由P的f-轨道与D的算术交所定义的序列的Zsigmondy集Z（X，f，P，D）。在对X，f，D，P的各种假设下，利用Vojta猜想和截断计数函数证明了Z（X，f，P，D）中的点集f^n（P）在X中不是Zerkiki稠密的.

$S$ -秩为$3$和$4$的算术二次型的定量Oppenheim猜想

Quantitative Oppenheim conjecture for $S$-arithmetic quadratic forms of rank $3$ and $4$

Eskin，Margulis and Mozes（1998）和Dani and Margulis（1993）关于定量Oppenheim猜想的著名结果指出，对于秩至少为5的无理二次型$q$，使得$q(\mathbf v)$在给定有界区间内的整向量$\mathbf v$的个数渐近等于使得$q(\mathbf v)$在同一区间内的实向量集合$\mathbf v$的体积。在$3$或$4$维中，存在不满足定量Oppenheim猜想的特殊二次型.即使在这些情况下，人们也可以说几乎所有的二次型都保持两个渐近极限相同（[Eskin-Margulis-Mozes'98，定理2.4]）。在本文中，我们将这一结果推广到$S$ -算术版本。

数量遍历定理及其数论应用

Quantitative ergodic theorems and their number-theoretic applications

本文综述了作者最近建立的代数群和算术群作用的遍历定理及其应用。我们的方法是基于谱方法，采用酉表示理论的团体参与。这允许推导出具有收敛速率的遍历定理，这是经典遍历论中没有出现的重要现象。定量遍历定理产生了新的和以前无法访问的应用程序，我们展示了显着的多样性，这样的应用程序提出了一些数论结果。这些包括，特别是，一般一致误差估计在格点计数问题，明确估计在筛选问题的几乎素点对称品种，界指数的内在丢番图逼近，结果快速分布的密集轨道上齐性空间。

混合流形中超平面的定量有限性

Quantitative finiteness of hyperplanes in hybrid manifolds

本研究针对由Gromov与Piatetski-Shapiro粘合构造生成的n≥3维非算术双曲流形，证明其全测地超平面的定量有限性，拓展了三维相关研究，核心依赖SO(n-1,1)周期轨道的有效密度定理，运用了Margulis函数等多项技术。

Quantitative Green's Function Estimates for Lattice Quasi-periodic Schrödinger Operators

In this paper, we establish quantitative Green's function estimates for some higher dimensional lattice quasi-periodic (QP) Schrödinger operators. The resonances in the estimates can be described via a pair of symmetric zeros of certain functions and the estimates apply to the sub-exponential type non-resonant conditions. As the application of quantitative Green's function estimates, we prove both the arithmetic version of Anderson localization and the $(\frac 12-)$-Hölder continuity of the integrated density of states (IDS) for such QP Schrödinger operators. This gives an affirmative answer t…

Common preperiodic points for quadratic polynomials

Let $f_c(z) = z^2+c$ for $c \in \mathbb{C}$. We show there exists a uniform bound on the number of points in $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ that can be preperiodic for both $f_{c_1}$ and $f_{c_2}$ with $c_1\not= c_2$ in $\mathbb{C}$. The proof combines arithmetic ingredients with complex-analytic; we estimate an adelic energy pairing when the parameters lie in $\bar{\mathbb{Q}}$, building on the quantitative arithmetic equidistribution theorem of Favre and Rivera-Letelier, and we use distortion theorems in complex analysis to control the size of the intersection of distinct Julia sets. The proof i…