Co-Kasch 模
Co-Kasch Modules
AI总结：
本文提出并研究了 co-Kasch 模（即所有单子因子均为其同态像的模），证明了其与 Kasch 模的对偶性，并刻画了其在右 Artinian 环、Prüfer 整环及 $\mathbb{Z}$-模等代数结构下的性质与充要条件。
摘要：
本文研究所有单子因子均为 $M$ 的同态像的模 $M$，并称其为 co-Kasch 模。这些模是对偶于 Kasch 模的模，后者的所有单子因子均可嵌入 $M$。我们证明，一个模为 co-Kasch 当且仅当 $σ[M]$ 中的每个单模均为 $M$ 的同态像。特别地，投射右模 $P$ 为 co-Kasch 当且仅当 $P$ 是 $σ[P]$ 的生成元。若 $R$ 是右 max 且右 $H$-环，则每个右 $R$-模均为 co-Kasch；且对于单右模具有局部 Artinian 内射包的环，其逆命题成立。对于右 Artinian 环 $R$，我们证明：(1) 每个有限生成右 $R$-模均为 co-Kasch 当且仅当每个右 $R$-模均为 co-Kasch 当且仅当 $R$ 是右 $H$-环；以及 (2) 每个有限生成投射右 $R$-模均为 co-Kasch 当且仅当 $R$ 的 Cartan 矩阵为对角矩阵。对于 Prüfer 整环 $R$，我们证明 $R$ 的每个非零理想均为 co-Kasch 当且仅当 $R$ 是 Dedekind 环。此外，对 co-Kasch 的 $\mathbb{Z}$-模结构进行了完全刻画。
英文摘要：
In this paper we study the modules $M$ every simple subfactors of which is a homomorphic image of $M$ and call them co-Kasch modules. These modules are dual to Kasch modules $M$ every simple subfactors of which can be embedded in $M$. We show that a module is co-Kasch if and only if every simple module in $σ[M]$ is a homomorphic image of $M$. In particular, a projective right module $P$ is co-Kasch if and only if $P$ is a generator for $σ[P]$. If $R$ is right max and right $H$-ring, then every right $R$-module is co-Kasch; and the converse is true for the rings whose simple right modules have locally artinian injective hulls. For a right artinian ring $R$, we prove that: (1) every finitely generated right $R$-module is co-Kasch if and only if every right $R$-module is a co-Kasch module if and only if $R$ is a right $H$-ring; and (2) every finitely generated projective right $R$-module is co-Kasch if and only if the Cartan matrix of $R$ is a diagonal matrix. For a Prüfer domain $R$, we prove that, every nonzero ideal of $R$ is co-Kasch if and only if $R$ is Dedekind. The structure of $\mathbb{Z}$-modules that are co-Kasch is completely characterized.
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