Random Permutations -- A geometric point of view
我们看看大的随机非均匀排列的几何极限。我们主要考虑两个理论的极限排列：排列极限，介绍了Hoppen，Kohayakawa，Moreira，Rath，和Sampaio定义的概念的缩放极限排列;和Benjamini-Schramm极限，介绍了作者定义的概念的局部极限排列。我们考虑的随机排列模型主要是约束模型，即属于所有排列集合的给定子集的均匀排列。我们经常使用模式避免来识别这个子集，重点是：避免长度为3的模式的排列，替换封闭类，（几乎）平方排列，通过生成树编码的排列家族，以及Baxter排列。我们探讨了上述模型的一些普遍现象。对于Benjamini-Schramm极限，我们探索了极限对象的集中现象。对于置换子极限，我们深入研究了一些已知的泛置换子，称为有偏布朗可分置换子，我们介绍了一些新的，称为巴克斯特置换子和斜布朗置换子。此外，（几乎）平方排列，我们调查的极限置换的相变的发生。在此过程中，我们建立了各种组合的结果都置换和其他相关的对象。除其他外，我们给出了一个完整的描述连续模式的可行域作为一个特定的图形的循环多面体，我们发现新的双射巴克斯特置换，双极方向，走在锥，和一个新的家庭的离散对象称为聚结行走过程。
2021-07-20 math.CO math.PR
High-dimensional permutons: theory and applications
本文提出了$d$维排列测度的理论框架，证明了$d$维排列序列的收敛性，并确定了Schnyder wood排列和$d$-separable permutations的随机高维排列测度极限，揭示了其与随机几何对象的深刻联系。
2025-01-31 math-ph math.CO math.MP
The skew Brownian permuton: a new universality class for random constrained permutations
Stanford University（斯坦福大学）
本文构造了由两个参数刻画的斜布朗置换子族，统一了Baxter置换子与有偏布朗可分置换子，并证明其与SLE装饰的LQG球面相关置换子几乎覆盖全部参数范围。
2026-09-30 math-ph math.CO math.MP
Scaling limits of permutation classes with a finite specification: a dichotomy
我们考虑均匀随机置换类具有有限的组合规格的替代分解。这些类包括（但不限于）具有有限数量的简单置换的所有置换类。我们的目标是研究它们在置换子意义下的极限行为。该限制取决于仅限于具有最大增长率的家族的规格结构。当它是强连接时，会出现两种情况。如果相关的方程组是线性的，则极限置换子是确定性的$X$形状。否则，极限置换子是布朗可分置换子，这是一个随机对象，已经作为大多数置换闭置换类的极限出现，其中可分置换。此外，这些结果可以结合起来研究一些非强连通的情况。为了证明我们的结果，我们用随机子置换的收敛性来刻画随机置换的收敛性。关键步骤是组合研究，通过替代树，家庭的排列与标记元素诱导一个给定的模式，和相应的生成函数的奇异性分析。
2019-10-29 math.CO math.PR
Large deviation principle for random permutations
Stanford University（斯坦福大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）；Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文推导了随机排列的大偏差原理，提出Gibbs排列模型统一推广$\mu$-随机排列与Mallows模型，证明广义Mallows模型存在相变，并引入条件常数permutons概念。
2023-04-03 math.CO math.PR
Permutations with fixed pattern densities
我们研究的随机排列（“置换”）的缩放限制有固定的密度有限数量的模式。我们表明，极限形状是由最大熵置换与这些限制。特别是，我们计算（精确或数值）的极限形状与固定的\hbox{12}密度，与固定的\hbox{12}和\hbox{123}密度，与固定的\hbox{12}密度和\hbox{123}和\hbox{213}密度的总和，并与固定的\hbox{123}和\hbox{321}密度。在最后一种情况下，我们探讨一个特定的相变。为了获得我们的结果，我们还提供了一个描述的置换子使用动态建设。
2015-08-31 math.CO math.PR
The Brownian limit of separable permutations
我们研究了一类重要的避免模式的排列：可分排列中的随机均匀排列。我们描述了在这样一个随机排列中的布朗游程的任何固定的给定模式的出现次数的渐近性。在最近的术语置换子，我们的工作可以被解释为收敛的均匀随机可分置换的“布朗可分置换”。
2017-02-27 math.CO math.PR
Permutons, meanders, and SLE-decorated Liouville quantum gravity
MIT（麻省理工学院）；University of Chicago（芝加哥大学）；Peking University（北京大学）
该研究构造了基于SLE装饰LQG曲面的随机置换子类，证明其最长递增子序列次线性、闭支撑豪斯多夫维数为1，还推导了蜿蜒置换子的模式密度公式并提出相关猜想与开放问题。
2025-03-25 math-ph math.CO math.MP
Universal limits of substitution-closed permutation classes
考虑真置换闭类中的一致随机置换，并研究其在置换意义下的极限行为。极限取决于类中简单排列的生成级数。在一个温和的充分条件下，极限是一个初等的单参数变形的极限的一致可分置换，以前确定为布朗可分置换。因此，这个限制性的对象在某种意义上是普遍的。我们确定了两个不同的限制对象的其他制度。第一个是退化的，第二个是非平凡的，与稳定树有关。这些结果是由于随机置换子的收敛通过其预期的图案密度的收敛的表征而获得的。然后，通过使用置换树编码的置换序列和执行奇异性分析的树序列的期望模式密度的极限计算。
2018-08-10 math.CO math.PR
Permutations from Random Walk
Stony Brook University（石溪大学）；Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文研究随机游走部分和排序产生的排列，证明其分布与步长分布无关，并推广至一般情形，引入Wiener permuton，给出插值构造，统一扩展了反正弦定律。
2026-09-22 math.CO math.PR
Ranks, copulas, and permutons
本文综述了利用马尔可夫链边界理论研究随机增长排列渐近性的最新进展，揭示其与非参数统计的联系，并探讨了相关应用与研究方向。
2023-11-02 math.CO math.PR math.ST
Geometry of Permutation Limits
本文在最近的置换子理论的基础上，提出了置换值过程的极限理论。我们应用这一点来研究随机排序网络的渐近行为。我们证明了随机排序网络的极限阿基米德路径是从单位元到逆置换子的唯一路径，在适当的度量下具有最小能量。结合最近的大偏差结果（Kotowski，2016），它暗示了松弛随机排序网络模型的阿基米德极限。
2018-11-01 math.CO math.PR
Baxter permuton and Liouville quantum gravity
Stanford University（斯坦福大学）；University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文给出 Baxter permuton 期望密度的显式公式，证明其模式密度严格正，并借助 LQG/SLE 联系推广到斜布朗 permuton，揭示反转比例与虚几何角的关系。
2023-01-17 math-ph math.CO math.MP
Large deviation principles for pattern-avoiding permutations, and limit shapes for constrained Mallows permutations
ENS de Lyon, CNRS（里昂师范学院，法国国家科学研究中心）；Uppsala University（乌普萨拉大学）；Université de Lorraine, CNRS（洛林大学，法国国家科学研究中心）；Université de Poitiers（普瓦捷大学）；Université de Lille, CNRS, Inria（里尔大学，法国国家科学研究中心，法国国家信息与自动化研究所）
本文研究了避免特定3长度模式的Mallows随机排列，并证明在特定偏置参数下，这些排列收敛到一个非平凡的确定性permuton，同时建立了均匀模式避免排列的大偏差原理。
2026-04-26 math.CO math.PR
Permuton limit of a generalization of the Mallows and $k$-card-minimum models
本文提出一个推广Mallows和k-card-minimum的随机排列模型，计算其permuton极限，证明模式密度大数定律及带状结构普适性，并验证Travers猜想。
2025-02-12 math.PR
Minimal inversion of a permuton sample
该研究将逆序图最小度数定义为最小逆序，推广了相关定理，证明其可渐近缩放为n^β（β∈[0,1]），且概率呈指数衰减规律。
2026-08-03 math.CO math.PR
The longest increasing subsequence of Brownian separable permutons
本研究证明从布朗可分离置换子采样的置换的最长递增子序列长度除以$n^{\alpha(p)}$几乎必然收敛到非平凡随机变量，其中指数$\alpha(p)$由特定方程唯一确定，并推广至布朗cographon的最大团大小。
2025-06-23 math.CO math.PR
Grothendieck Shenanigans: Permutons from pipe dreams via integrable probability
该研究基于旗簇K理论中β=1的格罗滕迪克多项式，通过映射到TASEP描述了约化管道梦想随机置换的极限置换子及n^(1/3)阶Tracy-Widom GUE涨落，还解决了相关开放问题及β=1格罗滕迪克多项式主特殊化最大值问题。
2025-04-16 math-ph math.CO math.MP
Random permutations from $q$-Demazure products
研究$q$-变形的Demazure乘积模型，通过删除转位并应用$q$-Demazure乘积得到排列，证明其极限为确定性permuton，解决猜想并明确极限permuton。
2026-04-08 math.CO math.PR
Power-law bounds for increasing subsequences in Brownian separable permutons and homogeneous sets in Brownian cographons
Stanford University（斯坦福大学）；University of Vienna（维也纳大学）；University of Chicago（芝加哥大学）
本研究为布朗可分离排列的最长递增子序列和布朗余图的最大团/独立集建立幂律界，给出显式指数上下界，并通过数值模拟验证下界接近最优，方法基于碎片化过程分析。
2024-01-02 math.CO math.PR
Graphons, permutons and the Thoma simplex: three mod-Gaussian moduli spaces
在本文中，我们将展示如何使用的框架，模高斯收敛，以研究某些模型的随机图，随机排列和随机整数分区的波动。我们证明了，在这三个框架中，一个通用的均匀观测的通用随机模型是模高斯下适当的重正化。这意味着一个中心极限定理与一个扩大的正常区域，一个适度的偏差原则，收敛速度的估计，一个局部极限定理和浓度不等式。这些模型的观测量的普遍渐近行为引起了模高斯模空间的概念。
2018-03-19 math.PR
Up-down chains and scaling limits: application to permuton- and graphon-valued diffusions
Université de Lorraine（洛林大学）
本文提出分析上-down链及其标度极限的通用框架，并应用于排列和图的扩散研究，揭示了其遍历性和与Dedekind eta函数的关系。
2025-12-23 math.CO math.PR
Scaling and local limits of Baxter permutations through coalescent-walk processes
众所周知，巴克斯特排列、平面双极取向和非负象限中的一个特定的行走族通过几个双射相互关联。我们引入了一个新的家庭离散对象，称为聚结行走过程，这是我们的结果的基础。我们将这些新的对象与其他先前提到的家庭引入一些新的双射。我们证明联合Benjamini-Schramm收敛（无论是在退火和淬火的意义上）的四个家庭中的统一对象。此外，我们明确地构建了一个新的分形随机测度的单位平方，称为合并巴克斯特置换，我们表明，它是标度极限（在置换意义上）的均匀巴克斯特置换。为了证明后一个结果，我们研究了相关的随机合并行走过程的标度极限。我们表明，他们收敛于法律的连续随机聚结行走过程编码的扰动版本的田中随机微分方程。这一结果与Gwynne，Holden，Sun（2016）关于平面双极三角剖分的缩放限制（在Peanosphere拓扑中）的结果有联系（将在未来的项目中探索）。我们进一步证明了一些结果，涉及的限制对象的四个家庭彼此，无论是在本地和缩放限制的情况下。
2020-06-12 math.CO math.PR
Square permutations are typically rectangular
我们描述了大的均匀随机平方排列的极限（对于两种拓扑），即，每个点都是一个记录。我们所有结果的出发点是渐近均匀平方排列的抽样过程。在此基础上，我们首先描述了全球的行为表明，这些排列有一个置换限制，可以描述一个随机矩形。我们还探讨了这个随机矩形的波动，我们可以通过耦合布朗运动来描述。其次，我们考虑置换中一个点的邻域通过局部极限的极限行为。作为一个副产品，我们还确定了在一个均匀的随机平方排列的任何给定的模式的出现（和连续出现）的比例的随机限制。
2019-12-12 math.CO math.PR
Scaling and local limits of Baxter permutations and bipolar orientations through coalescent-walk processes
本文引入并行走过程，统一Baxter排列、平面双极定向与串联游走，证明其联合局部与标度极限，构造Baxter permuton，并推广了相关猜想的结果。
2022-11-02 math.CO math.PR
Modified Equations for Stochastic Optimization
本文提出改进的随机优化方程理论，分析了SGD在有限数据下的扩散近似，并研究了随机游走族的缩放极限。
2025-11-25 cs.NA math.NA math.PR
Random permutations using GEPP
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）
本文研究随机矩阵在部分主元高斯消去中诱导的置换，分类蝴蝶矩阵的置换结构，分析GOE、GUE等模型的非均匀性及渐近行为，并揭示LAPACK实现细节对主元概率的影响，建立随机矩阵与置换组合学的新联系。
2026-10-08 cs.NA math.CO math.NA
Limit theorems for fixed point biased permutations avoiding a pattern of length three
DePaul University（迪保罗大学）；Saint Louis University（圣路易斯大学）
本文研究了在特定偏分布下，避免三元模式排列中固定点数量的极限行为，揭示了偏参数变化时分布形态的相变特性。
2026-03-06 math.CO math.PR
Local limits of descent-biased permutations and trees
本文研究按 q^{下降数} 加权的排列与有根标号树，揭示排列前元素随 q 与 n 关系变化的渐近相态，并据此刻画树模型的局部极限。
2023-12-18 math.CO math.PR
The global and local limit of the continuous-time Mallows process
本文研究连续时间Mallows过程的渐近性质，证明当n趋于无穷时该过程存在基于permuton极限的全局极限和与整数集Mallows分布相关的局部极限，揭示其与随机排序网络极限性质的相似性。
2024-04-12 math.CO math.PR
The height of record-biased trees
给定一个置换$σ$，其对应的二叉搜索树通过递归地将值$σ(1),\ldots,σ(n)$插入到二叉树中以使得每个节点的标签大于其左子树的标签并且小于其右子树的标签来获得。在1986年，Devroye证明了当$σ$是随机一致置换时，当$n$趋于无穷大时，这类树的高度是$(c^*+o_\mathbb{P}(1))\log n$阶，其中$c^*$是$c\log(2e/c)=1$与$c\geq2$的唯一解。在本文中，我们研究了从Auger，Bouvel，Nicaud和Eugeau在2016年引入的记录偏向排列模型中得出的二叉搜索树的高度。记录偏置分布是其权重与$θ^{\mathrm{record}(σ)}$成比例的排列集合上的概率度量，其中$\mathrm{record}(σ)=|\{i\in[n]:\forall j<i,σ(i)>σ(j)\}|$。我们表明，建立从记录偏置排列的大小$n$参数$θ$的二叉搜索树的高度是为了$(1+o_\mathbb{P}(1))\max\{c^*\log n,\,θ\log(1+n/θ)\}$，从而给出了一个完整的表征的高度的一阶渐近行为。
2021-12-10 math.CO math.PR
Size-biased permutation of a finite sequence with independent and identically distributed terms
本文主要研究了独立同分布（i.i.d.）的$n$的大小偏置置换问题。正随机变量。这是Perman-Pitman-Yor（PPY）[Probab. Theory Related Fields 92（1992）21-39]，以及诱导的顺序统计量的特殊形式[Bull. Inst. Internat.中央集权主义者45（1973）295-300; Ann. Statist. 2（1974）1034-1039]。这个交集赋予我们不同的工具来推导分布特性。他们的比较导致了新的结果，以及现有的更简单的证明。我们的主要贡献，定理25在第6节，描述了最后几项的渐近分布在有限i.i.d.通过Poisson耦合和它的几个最小顺序统计量的大小偏置置换。
2015-09-29 math.PR
Block size in Geometric(p)-biased permutations
将概率分布$\mathbf p = (p_1, p_2, \cdots)$固定在正整数上。$\mathbf p$偏置排列中的第一块可以用降落在每个正整数$j$处的雨滴来可视化，概率为$p_j$。它是第一个点$K$，因此$[1,K]$中的所有站点都是湿的，而$(K,\infty)$中的所有站点都是干的。对于几何分布$p_j= p(1-p)^{j-1}$，我们证明了当$p$趋于0时，$p \log K$以概率收敛到一个显式常数。证明了如果$\mathbf p$服从拉伸指数分布，则$K$以正概率无穷大.
2018-08-14 math.PR
Comparing the inversion statistic for distribution-biased and distribution-shifted permutations with the geometric and the GEM distributions
对于正整数上的分布$p:=\{p_k\}_{k=1}^\infty$，有两种自然的方法来构造$S_n$中的随机置换或来自$p$的IID样本的$\mathbb{N}$的随机置换--$p$偏置构造和$p$移位构造.首先我们考虑$p$是具有参数$1-q\in(0,1)$的几何分布的情况。在这种情况下，$p$移位的随机置换具有带有参数$q$的Mallow分布。令$P_n^{b;\text{Geo}(1-q)}$和$P_n^{s;\text{Geo}(1-q)}$表示$S_n$上的有偏分布和移位分布。在$P_n^{s;\text{Geo}(1-q)}$下的置换的期望反转数大于在$P_n^{b;\text{Geo}(1-q)}$下的置换的期望反转数，并且在这两种情况下，置换倾向于具有比在均匀分布下少得多的反转数。对于固定的$n$，$P_n^{b;\text{Geo}(1-q)}$和$P_n^{s;\text{Geo}(1-q)}$都弱收敛为$q\to1$到$S_n$上的均匀分布。我们通过研究在$P_n^{b;\text{Geo}(q_n)}$和$P_n^{s;\text{Geo}(q_n)}$下$q_n$收敛到1的各种速率下的反演统计来比较有偏和移位分布。然后，我们考虑$p$ -偏置和$p$ -移位排列的情况下，分布$p$本身是随机的，并作为GEM $(θ)$ -分布分布。在GEM $(θ)$…
2021-02-21 math.PR
A Galton-Watson tree approach to local limits of permutations avoiding a pattern of length three
本文利用Galton-Watson树的局部极限，为避免长度为3模式的排列建立局部极限定理，解决了Pinsky关于321-avoiding排列的开放问题，并用size-biased Galton-Watson树描述其他极限对象。
2024-01-03 math.CO math.PR
Some remarks on biased recursive trees
本文的目的是分析最近引入的非均匀随机树模型，有偏递归树的某些统计。该模型是基于构建一个随机树，通过建立一个对应的非均匀排列，有偏见的riffle洗牌。处理的统计信息包括具有给定数量的后代的节点的数量、树的深度和分支的数量。该模型在一定的极限下得到了一致递归树，并得到了一致递归树的一些新结果。
2018-01-14 math.CO math.PR
Iterated Decomposition of Biased Permutations Via New Bounds on the Spectral Gap of Markov Chains
马尔可夫链的谱间隙可以由组成的“限制”链和“投影”链的谱间隙来界定，并且这种界定的强度是各种分解定理的内容。在本文中，我们引入了一个新的参数，使我们能够改善这些界限。我们进一步定义了限制链和“互补”限制链之间的正交性的概念。这导致了一个新的互补分解定理，它不需要分析投影链。对于$ε$ -正交链，该定理可以迭代$O(1/ε)$次，同时仅给出关于总谱间隙的常数乘法因子。作为应用，我们给出了[ $n$ ]上$k$类有偏单调置换上最近邻Markov链的$1/n$ -正交分解，只要每类中的粒子数至少为$C\log n$ .这使我们能够应用互补分解定理迭代$n$次，以证明当$k$与$Θ(n/\log n)$一样大时，谱隙上的第一多项式界。先前最好的已知界限假设$k$至多是一个常数。
2019-10-11 cs.DS math.PR
Cycle structure of random standardized permutations
IECL – Site de Nancy, Faculté des sciences et Technologies, Campus, Boulevard des Aiguillettes, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France（南锡校区 IECL，科学与技术学院）
本文研究随机标准化排列模型，分析不同长度循环数的联合分布，揭示小循环和大循环的极限分布，证明总循环数的中心极限定理。
2026-03-25 math.CO math.PR
Normal approximations for descents and inversions of permutations of multisets
集合$\{1,2,...,n\}$的排列的下降和反转的正规近似是众所周知的。在实践中出现的许多序列，如人类基因组和其他基因组，包含许多重复的元素。受这些例子的启发，我们考虑了具有$n$元素的多重集的置换$π(1), π(2),...,π(n)$的反转数，其是$(i,j)$与$1\leq i < j \leq n$和$π(i)>π(j)$的对的数目。下降数是$1\leq i < n$范围内的$i$的数量，使得$π(i) > π(i+1)$。我们证明，适当规范化，分布的反转和下降的随机排列的多重集接近正态分布的$n\to\infty$，提供的排列是同样可能的任何可能的排列的多重集和没有元素发生超过$αn$倍的多重集为固定的$α$与$0<α< 1$。这两个正常的逼近定理证明使用的大小偏置版本的斯坦的辅助随机化方法，并伴随着误差界。
2006-09-29 math.CO math.PR
Joint extremes of inversions and descents of random permutations
本文研究了随机排列的逆序数与下降数的联合分布，利用Hájek投影和高斯近似证明其位于具有独立边缘的二维Gumbel分布最大吸引域内，并在有限Coxeter群框架下推导出中心极限定理。
2024-08-24 math.CO math.PR
Ordered and size-biased frequencies in GEM and Gibbs models for species sampling
本文描述了正整数上的两参数GEM $(α,θ)$随机离散分布中的随机样本$n$中按样本值排序的频率分布。这些频率是样本频率的$($大小$-α)$偏置随机排列，排列顺序或者是采样过程中值的出现顺序。这将Donnelly和Tavaré（1986）关于$α= 0$的一个众所周知的分布恒等式推广到$0 \le α< 1$的情况。这种描述扩展到从吉布斯$(α)$频率采样得到的GEM $(α,θ)$模型的适当条件，并产生一个值排序版本的中国餐馆建设的GEM $(α,θ)$和吉布斯$(α)$频率在更常见的大小偏置顺序的外观。的证明是基于一个有限的样本$(X_1,\dots,X_n)$从任何随机频率的大小偏置顺序从相关的可交换随机分区$Π_\infty$的$\mathbb{N}$，他们产生的一般建设。
2017-08-26 math.PR
Concentration of measures via size biased couplings
设$Y$是一个非负的随机变量，其均值为$μ$，方差为有限正的$σ^2$，并设与$Y$定义在同一空间上的$Y^s$具有$Y$大小偏置分布，即对于存在这些期望的所有函数$f$，分布的特征为E[Yf（Y）]=μE f（Y^s）。在Y与$Y^s$耦合的各种条件下，包括有界性和单调性的组合，测度集中不等式成立。例子包括随机排列的相对有序的连续性的数量，滑动窗口统计，包括硬币投掷序列中的m-运行的数量，格子上的随机函数的局部最大值的数量，在骨灰盒分配模型中恰好包含一个球的骨灰盒的数量，由均匀地放置在d维欧几里得空间的体积n子集上的$n$球的并集覆盖的体积，在所谓的灯泡过程中，在终端时间接通的灯泡的数量，以及满足有界矩母函数条件的无限可分和复合泊松分布。
2011-06-17 math.PR
