相伴斯特林数渐近逼近的一致收敛性
Uniform Convergence of an Asymptotic Approximation to Associated Stirling Numbers
AI总结：
本文针对第二类 r-相伴斯特林数的渐近展开，在已有大集合一致收敛结果的基础上，进一步证明了其处处一致收敛，从而完全解决了 Hennecart 1994 年提出的猜想。
摘要：
设 $S_r(p,q)$ 为第二类 $r$-相伴斯特林数，表示将大小为 $p$ 的集合划分为 $q$ 个大小至少为 $r$ 的子集的方法数。当 $r=1$ 时，这些是标准的第二类斯特林数；当 $r=2$ 时，它们也称为 Ward 数。本文关注这些斯特林数的渐近展开；此类展开已为人所知多年。然而，尽管 Hennecart 1994 年的论文猜想这些展开具有一致收敛性，但尚未被完全证明。最近的一篇论文（Connamacher 和 Dobrosotskaya，2020 年）取得了很大进展，证明了一个大集合上的一致收敛性。本文在该论文的基础上，证明了“处处”收敛。
英文摘要：
Let $S_r(p,q)$ be the $r$-associated Stirling numbers of the second kind, the number of ways to partition a set of size $p$ into $q$ subsets of size at least $r$. For $r=1$, these are the standard Stirling numbers of the second kind, and for $r=2$, these are also known as the Ward Numbers. This paper concerns asymptotic expansions of these Stirling numbers; such expansions have been known for many years. However, while uniform convergence of these expansions was conjectured in Hennecart's 1994 paper, it has not been fully proved. A recent paper (Connamacher and Dobrosotskaya, 2020) went a long way, by proving uniform convergence on a large set. In this paper we build on that paper and prove convergence "everywhere."
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