arXiv 2409.005192024-09math.AP

黎曼曲面上 Keller-Segel 系统稳态的爆破解

Blow-up solutions for the steady state of the Keller-Segel system on Riemann surfaces

Mohameden Ahmedou, Thomas Bartsch, Zhengni Hu

AI总结：

本文研究了紧致黎曼曲面上 Keller-Segel 系统稳态相关的 Neumann 边界问题，建立了参数 V 的充分条件，证明了当 λ 趋近临界值时存在在内部和边界特定点爆破的解序列，并扩展至奇异问题。

摘要：

我们研究与趋化现象基本模型 Keller-Segel 系统的稳态解相关的以下 Neumann 边界问题：\\[ \left\{\begin{array}{ll} -Δ_g u +βu =λ\left(\frac{Ve^u}{\int_Σ Ve^u d v_g}-1\right), &\text { in } \mathringΣ\\\\ \partial_{ ν_g} u=0, &\text { on } \partial Σ\end{array} \right.,\\] 该问题定义在单位面积的紧致黎曼曲面 $(Σ, g)$ 上，其内部为 $\mathringΣ$，光滑边界为 $∂Σ$。这里，$Δ_g$ 表示 Laplace-Beltrami 算子，$dv_g$ 是 $(Σ, g)$ 的面积元素，$ν_g$ 是 $∂Σ$ 的单位外法向量，$λ$ 和 $β$ 是非负参数，$V$ 为非负且零集有限。对于任意满足 $m>0$ 和 $k,l\geq 0$ 且 $m=2k+l$ 的整数，我们建立了 $V$ 的一个充分条件，使得当 $λ$ 趋近于临界值 $4πm$ 时，存在一序列爆破解，这些解在内部 $k$ 个点和边界 $l$ 个点处发生爆破。此外，本研究还扩展到了相应的奇异问题。

英文摘要：

We study the following Neumann boundary problem related to the stationary solutions of the Keller-Segel system, a basic model of chemotaxis phenomena: \[ \left\{\begin{array}{ll} -Δ_g u +βu =λ\left(\frac{Ve^u}{\int_Σ Ve^u d v_g}-1\right), &\text { in } \mathringΣ\\ \partial_{ ν_g} u=0, &\text { on } \partial Σ\end{array} \right.,\] on a compact Riemann surface $(Σ, g)$ of unit area, with interior $\mathringΣ$ and smooth boundary $\partial Σ$. Here, $Δ_g$ denote the Laplace-Beltrami operator, $dv_g$ the area element of $(Σ, g)$, and $ν_g$ the unit outward normal to $\partial Σ$ and $λ$ and $β$ are non-negative parameters, $V$ is non-negative with finite zero set. For any integers $m>0$ and $k,l\geq 0$ with $m=2k+l$, we establish a sufficient condition on $V$ for the existence of a sequence of blow-up solutions as $λ$ approaches the critical values $4πm$, which blows up at $k$ points in the interior and $l$ points on the boundary. Moreover, the study expands to the corresponding singular problem.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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