具有非凸势的梯度形式的 Mosco 收敛 II
Mosco convergence of gradient forms with non-convex potentials II
AI总结：
本文在介观界面模型背景下，研究了一族斜反射扭曲布朗运动的尺度极限，并证明其平衡分布在特定映射下弱收敛于状态空间为 Hilbert 空间的扭曲 Ornstein-Uhlenbeck 过程。
摘要：
本文在介观界面模型背景下，为一族斜相互作用布朗运动提供了尺度极限。设 $d\in\mathbb N$，$y_1,\dots,y_M\in\mathbb R$ 且 $f\in C_b(\mathbb R)$ 固定不变。对于每个 $N\in\mathbb N$，我们考虑一个 $k_N$ 维的斜反射扭曲布朗运动 $(X^{N,i}_t)_{i=1,\dots,k_N}$，$t\geq 0$，并研究 $N\to\infty$ 时的尺度极限。漂移项包含在高度水平 $\tilde y_j:=N^{1-\frac{d}{2}}y_j$ 处强度为 $\beta_j/N^d$（$j=1,\dots,M$）的斜反射。相应的 SDE 为 \begin{equation}\n d X^{N,i}_t=-\big(A_N X^{N}_t\big)_id t-\frac{1}{2}N^{-\tfrac{d}{2}-1}\\,f\big(N^{\frac{d}{2}-1}X^{N,i}_t\big)d t\n \\\\+\sum_{j=1}^M\tfrac{1-e^{-\beta_j/N^d}}{1+e^{-\beta_j/N^d}}d l_t^{N,i, \tilde y_j}\n +d B_t^{N,i}, \end{equation} 其中 ${(B_t^{N,i})}_{t\geq 0}$，$i=1,\dots, k_N$，是独立的布朗运动，$ l_t^{N,i, \tilde y_j}$ 表示 ${(X^{N,i}_t)}_{t\geq 0}$ 在 $\tilde y_j$ 处的局部时。我们通过选择合适的单射线性映射 $\Lambda_N:\mathbb R^{k_N}\to \{h\\,|\\,h:D\to\mathbb R\}$，证明了当 $N\to\infty$ 时 \begin{equation*}\n u_t^N=\Lambda_N\circ X^{N}_{N^2t},\quad t\geq 0, \end{equation*} 的平衡分布的弱收敛性。该尺度极限是一个扭曲 Ornstein-Uhlenbeck 过程，其状态空间为 Hilbert 空间 $H=L^2(D, dz)$。我们刻画了一类高度映射，使得动力学的尺度极限不依赖于该类中 ${(\Lambda_N)}_{N\in\mathbb N}$ 的具体选择。
英文摘要：
This article provides a scaling limit for a family of skew interacting Brownian motions in the context of mesoscopic interface models. Let $d\in\mathbb N$, $y_1,\dots,y_M\in\mathbb R$ and $f\in C_b(\mathbb R)$ be fixed. For each $N\in\mathbb N$ we consider a $k_N$-dimensional, skew reflecting distorted Brownian motion $(X^{N,i}_t)_{i=1,\dots,k_N}$, $t\geq 0$, and investigate the scaling limits for $N\to\infty$. The drift includes skew reflections at height levels $\tilde y_j:=N^{1-\frac{d}{2}}y_j$ with intensities $β_j/N^d$ for $j=1,\dots,M$. The corresponding SDE is given by \begin{equation} d X^{N,i}_t=-\big(A_N X^{N}_t\big)_id t-\frac{1}{2}N^{-\tfrac{d}{2}-1}\,f\big(N^{\frac{d}{2}-1}X^{N,i}_t\big)d t \\+\sum_{j=1}^M\tfrac{1-e^{-β_j/N^d}}{1+e^{-β_j/N^d}}d l_t^{N,i, \tilde y_j} +d B_t^{N,i}, \end{equation} where ${(B_t^{N,i})}_{t\geq 0}$, $i=1,\dots, k_N$, are independent Brownian motions and $ l_t^{N,i, \tilde y_j}$ denotes the local time of ${(X^{N,i}_t)}_{t\geq 0}$ at $\tilde y_j$. We prove the weak convergence of the equilibrium laws of \begin{equation*} u_t^N=Λ_N\circ X^{N}_{N^2t},\quad t\geq 0, \end{equation*} for $N\to\infty$, choosing suitable injective, linear maps $Λ_N:\mathbb R^{k_N}\to \{h\,|\,h:D\to\mathbb R\}$. The scaling limit is a distorted Ornstein-Uhlenbeck process whose state space is the Hilbert space $H=L^2(D, dz)$. We characterize a class of height maps, such that the scaling limit of the dynamic is not influenced by the particular choice of ${(Λ_N)}_{N\in\mathbb N}$ within that class.
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