$σ$-局部化 Émery 收敛的极限定理
Limit theorems for $σ$-localized Émery convergence
AI总结：
针对有界半鞅序列，本文证明其凸组合可在 $σ$-局部化 Émery 拓扑下收敛，并给出技术变体及在收敛序列刻画和超鞅选择定理中的应用。
摘要：
给定时间区间 $[0,T]$ 上半鞅的有界序列 $\{X^{n}\}_{n}$，我们找到一个凸组合序列 $\{Y^{n}\}_{n}$ 和一个极限半鞅 $Y$，使得 $\{Y^{n}\}_{n}$ 在 Émery 拓扑的一种 $σ$-局部化修正下收敛于 $Y$。更确切地说，在覆盖 $Ω\ imes[0,T]$ 的可料集合递增序列 $\{D_{n}\}_{n}$ 上，$\{Y^{n}\}_{n}$ 按 Émery 拓扑收敛于 $Y$。我们还证明了该定理的若干技术性变体，包括一个 $\{D_{n}\}_{n}$ 的补集构成不相交序列的版本。应用包括完整刻画存在按 Émery 拓扑收敛的凸组合的序列，以及 Helly 选择定理的超鞅对应结论。
英文摘要：
Given a bounded sequence $\{X^{n}\}_{n}$ of semimartingales on a time interval $[0,T]$, we find a sequence of convex combinations $\{Y^{n}\}_{n}$ and a limiting semimartingale $Y$ such that $\{Y^{n}\}_{n}$ converges to $Y$ in a $σ$-localized modification of the Émery topology. More precisely, $\{Y^{n}\}_{n}$ converges to $Y$ in the Émery topology on an increasing sequence $\{D_{n}\}_{n}$ of predictable sets covering $Ω\times[0,T]$. We also prove some technical variants of this theorem, including a version where the complement of $\{D_{n}\}_{n}$ forms a disjoint sequence. Applications include a complete characterization of sequences admitting convex combinations converging in the Émery topology, and a supermartingale counterpart of Helly's selection theorem.
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