固定大小匹配上 down-up 游走的快速混合
Rapid mixing of the down-up walk on matchings of a fixed size
AI总结：
本文证明固定大小匹配上的 down-up 游走在多项式时间内混合，推进了 Jain 等人的最优混合时间猜想，并通过构造多商品流界定谱间隙，同时揭示了谱独立方法的局限。
摘要：
设 $G = (V,E)$ 是一个具有 $n$ 个顶点的图，令 $m^*(G)$ 表示 $G$ 中最大匹配的大小。我们证明，对于任意 $δ> 0$ 以及任意 $1 \leq k \leq (1-δ)m^*(G)$，在 $G$ 中大小为 $k$ 的匹配上的 down-up 游走可在关于 $n$ 的多项式时间内混合。此前，即使对于最大度为 $Δ$ 的图，多项式时间混合也未被证明，而我们的结果推进了 Jain、Perkins、Sah 和 Sawhney [STOC, 2022] 的一个猜想，即 down-up 游走可在最优时间 $O_{Δ,δ}(n\log{n})$ 内混合。与近期利用谱独立框架分析各种情形下 down-up 游走混合的工作不同，我们通过构造并分析一个合适的多商品流来界定谱间隙。事实上，我们给出的构造展示了谱独立方法在我们的情形中的局限性。
英文摘要：
Let $G = (V,E)$ be a graph on $n$ vertices and let $m^*(G)$ denote the size of a maximum matching in $G$. We show that for any $δ> 0$ and for any $1 \leq k \leq (1-δ)m^*(G)$, the down-up walk on matchings of size $k$ in $G$ mixes in time polynomial in $n$. Previously, polynomial mixing was not known even for graphs with maximum degree $Δ$, and our result makes progress on a conjecture of Jain, Perkins, Sah, and Sawhney [STOC, 2022] that the down-up walk mixes in optimal time $O_{Δ,δ}(n\log{n})$. In contrast with recent works analyzing mixing of down-up walks in various settings using the spectral independence framework, we bound the spectral gap by constructing and analyzing a suitable multi-commodity flow. In fact, we present constructions demonstrating the limitations of the spectral independence approach in our setting.
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