可数生成矩阵代数
Countably Generated Matrix Algebras
AI总结：
本文通过定义结合代数在右模范畴中的完备化，并借助GMMP-代数与非交换形变函子的预表示壳，证明了该完备化在同构意义下唯一，从而推广了交换环中理想完备化的经典构造。
摘要：
我们定义了一个结合代数 $A$ 在由 $r$ 个右 $A$-模组成的集合 $M=\{M_1,\dots,M_r\}$ 中的完备化，使得当 $\mathfrak a\subseteq A$ 是交换环 $A$ 中的理想时，$A$ 在（右）模 $A/\mathfrak a$ 中的完备化为 $\hat A^M\simeq \hat A^{\mathfrak a}$。其做法是将 $\hat A^M$ 定义为一个形式代数，该形式代数由称为 GMMP-代数范畴中的计算所确定。从形变理论我们得到，该计算的结果是一个形式代数，它是非交换形变函子的预表示壳，并且该壳在同构意义下是唯一的。
英文摘要：
We define the completion of an associative algebra $A$ in a set $M=\{M_1,\dots,M_r\}$ of $r$ right $A$-modules in such a way that if $\mathfrak a\subseteq A$ is an ideal in a commutative ring $A$ the completion $A$ in the (right) module $A/\mathfrak a$ is $\hat A^M\simeq \hat A^{\mathfrak a}.$ This works by defining $\hat A^M$ as a formal algebra determined up to a computation in a category called GMMP-algebras. From deformation theory we get that the computation results in a formal algebra which is the prorepresenting hull of the noncommutative deformation functor, and this hull is unique up to isomorphism.
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