随机几何图与 Erdős-Rényi 图的夹逼及其应用：尖锐阈值、稳健检验与枚举
Sandwiching Random Geometric Graphs and Erdos-Renyi with Applications: Sharp Thresholds, Robust Testing, and Enumeration
AI总结：
本文通过建立 Erdős-Rényi 图与随机几何图之间的多项式时间耦合夹逼关系，在 d≫np 条件下将其应用于证明随机几何图的尖锐阈值、给出稳健检验的信息论下界及高效谱反驳算法，并改进几何图枚举下界。
摘要：
分布 $\mathsf{RGG}(n,\mathbb{S}^{d-1},p)$ 的生成方式是：在 $\mathbb{S}^{d-1}$ 上独立均匀采样向量 $\{V_i\}_{i = 1}^n$，并对满足 $\langle V_i,V_j\rangle \ge τ^p_d$ 的顶点对 $i$ 和 $j$ 连边，其中 $τ^p_d$ 使得期望密度为 $p$。我们的主要结果是一个可在多项式时间内实现的 Erdős-Rényi 与 $\mathsf{RGG}$ 之间的耦合，使得当 $d\gg np$ 时，以高概率逐边地有 $\mathsf{G}(n,p(1 - \tilde{O}(\sqrt{np/d})))\subseteq \mathsf{RGG}(n,\mathbb{S}^{d-1},p)\subseteq \mathsf{G}(n,p(1 + \tilde{O}(\sqrt{np/d})))$。我们将该结果应用于：1) 尖锐阈值：我们证明，对于任何关于 Erdős-Rényi 分布具有尖锐阈值且临界概率为 $p^c_n$ 的单调性质，当 $d\gg np^c_n$ 时随机几何图也表现出尖锐阈值，从而部分回答了 Perkins 的一个问题。2) 稳健检验：该耦合表明，当 $d\gg np$ 时，在任意常数 $ε>0$ 的 $εn^2p$ 条对抗性损坏边下，区分 $\mathsf{G}(n,p)$ 与 $\mathsf{RGG}(n,\mathbb{S}^{d-1},p)$ 在信息论上是不可能的。我们用一个高效的（常数阶 SoS）谱反驳算法在 $d\ll np$ 时匹配了这一下界。3) 枚举：我们证明维度 $d$ 中几何图的数量至少为 $\exp(dn\log^{-7}n)$，恢复了 Sauermann 的尖锐结果（至多相差对数因子）。
英文摘要：
The distribution $\mathsf{RGG}(n,\mathbb{S}^{d-1},p)$ is formed by sampling independent vectors $\{V_i\}_{i = 1}^n$ uniformly on $\mathbb{S}^{d-1}$ and placing an edge between pairs of vertices $i$ and $j$ for which $\langle V_i,V_j\rangle \ge τ^p_d,$ where $τ^p_d$ is such that the expected density is $p.$ Our main result is a poly-time implementable coupling between Erdős-Rényi and $\mathsf{RGG}$ such that $\mathsf{G}(n,p(1 - \tilde{O}(\sqrt{np/d})))\subseteq \mathsf{RGG}(n,\mathbb{S}^{d-1},p)\subseteq \mathsf{G}(n,p(1 + \tilde{O}(\sqrt{np/d})))$ edgewise with high probability when $d\gg np.$ We apply the result to: 1) Sharp Thresholds: We show that for any monotone property having a sharp threshold with respect to the Erdős-Rényi distribution and critical probability $p^c_n,$ random geometric graphs also exhibit a sharp threshold when $d\gg np^c_n,$ thus partially answering a question of Perkins. 2) Robust Testing: The coupling shows that testing between $\mathsf{G}(n,p)$ and $\mathsf{RGG}(n,\mathbb{S}^{d-1},p)$ with $εn^2p$ adversarially corrupted edges for any constant $ε>0$ is information-theoretically impossible when $d\gg np.$ We match this lower bound with an efficient (constant degree SoS) spectral refutation algorithm when $d\ll np.$ 3) Enumeration: We show that the number of geometric graphs in dimension $d$ is at least $\exp(dn\log^{-7}n)$, recovering (up to the log factors) the sharp result of Sauermann.
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