CAT(0) 和 CAT(1) 空间中重心广义方差不等式
Generalized Variance Inequalities for Barycenters in CAT(0) and CAT(1) Spaces
AI总结：
本文推广了 CAT(0) 空间中重心的方差不等式至 CAT(1) 空间小球及指数 p≥2，并建立尖锐度量余型与非线性鞅不等式。
摘要：
我们证明了 CAT(0) 空间中已知的重心方差不等式的广义版本，其灵感来自于 $p$-一致凸 Banach 空间中的类似结果。我们的推广适用于完备 CAT(1) 空间中半径足够小的球，以及 $\noperatorname{CAT}(0)$ 情形中的指数 $p \geq 2$。基于 Eskenazis、Mendel 和 Naor 的一个结果，我们为 CAT(0) 空间中所有 $p \geq 2$ 建立了尖锐的度量余型，将先前已知的 $p=2$ 情形进行了推广。此外，基于他们的工作，我们推导了取值于完备 CAT(0) 空间和完备 CAT(1) 空间中半径足够小的球的非线性鞅的鞅不等式。
英文摘要：
We prove generalized versions of the Variance Inequality known for barycenters in CAT(0) spaces, inspired by an analogous result for $p$-uniformly convex Banach spaces. Our generalizations apply to balls of sufficiently small radius in complete CAT(1) spaces and to exponents $p \geq 2$ in the $\operatorname{CAT}(0)$ setting. Building on a result of Eskenazis, Mendel, and Naor, we establish sharp metric cotype for all $p \geq 2$ in $\mathrm{CAT}(0)$ spaces, extending the previously known case $p=2$. In addition, based on their work, we derive martingale inequalities for nonlinear martingales taking values in complete $\mathrm{CAT}(0)$ space and balls of sufficiently small radius in complete CAT(1) spaces.
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