关于单调子词的最小密度
On the minimum density of monotone subwords
AI总结：
研究了全序字母表上单调子词的渐近最小密度，确定了$f(2,k)$和$f(3,3)$，给出显式构造并结合flag algebra计算了多个值，最后证明了对固定$k\ge3$时$f(s,k)$与$f(\infty,k)$的差距为$\Theta(\frac{1}{s})$。
摘要：
我们考虑大小为$s$的全序字母表上单词的单调$k$-子词的渐近最小密度$f(s,k)$。无限制字母表情况$f(\infty,k)$已被充分研究，已知$f(\infty,3)$和$f(\infty,4)$，特别地，被猜想对所有$k$均为有理数。这里我们对所有$k$确定了$f(2,k)$，并确定了已经是无理数的$f(3,3)$。我们给出了对所有$s$的显式构造，猜想其可得出$f(s,3)$。利用该构造和flag algebra，我们将$f(4,3),f(5,3),f(6,3)$确定到$10^{-3}$精度，并论证了无论计算能力如何，flag algebra都无法精确确定$f(5,3)$。最后，我们证明对每个固定$k\ge3$，$f(s,k)$与$f(\infty,k)$的差距为$\Theta(\frac{1}{s})$。
英文摘要：
We consider the asymptotic minimum density $f(s,k)$ of monotone $k$-subwords of words over a totally ordered alphabet of size $s$. The unrestricted alphabet case, $f(\infty,k)$, is well-studied, known for $f(\infty,3)$ and $f(\infty,4)$, and, in particular, conjectured to be rational for all $k$. Here we determine $f(2,k)$ for all $k$ and determine $f(3,3)$, which is already irrational. We describe an explicit construction for all $s$ which is conjectured to yield $f(s,3)$. Using our construction and flag algebra, we determine $f(4,3),f(5,3),f(6,3)$ up to $10^{-3}$ yet argue that flag algebra, regardless of computational power, cannot determine $f(5,3)$ precisely. Finally, we prove that for every fixed $k \ge 3$, the gap between $f(s,k)$ and $f(\infty,k)$ is $Θ(\frac{1}{s})$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
